课时检测训练20 利用导数研究函数的零点（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练20　利用导数研究函数的零点 ➢对应学生用书P266 1.（2023·陕西西安·三模）设函数f＝aln x＋，a∈R. （1）若函数g＝f－x在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当a＞0时，讨论函数f＝aln x＋零点的个数. 解　（1）由题意，函数g（x）的定义域为（0，＋∞）. ∵g（x）在（0，＋∞）上单调递减， ∴g'＝－－1≤0在（0，＋∞）上恒成立， 即当x∈，a≤x＋恒成立， ∴a≤. ∵当x∈，x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴当x＝1时，＝2，∴a≤2. ∴a的取值范围为（－∞，2]. （2）显然x＝1不是f（x）的零点，∴f（x）＝0⇒aln x＋＝0⇒a＝－. 令h＝－，x＞0且x≠1，则h'（x）＝，由h'（x）＞0⇒x∈∪，h'＜0⇒x∈， ∴h（x）在上单调递减，在，（1，＋∞）上单调递增， ∴在（0，1）上时，h（x）有极小值h＝e；在（1，＋∞）上时，h＜0. ∴h（x）的图象如图： ∴0＜a＜e时，f（x）零点个数为0；a＝e时，f（x）零点个数为1；a＞e时，f（x）零点个数为2. 2.（2022·北京市第五中学三模）已知函数f＝ln x＋x. （1）若1是函数f的极值点，求a的值； （2）若0＜a≤1，试问f是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由. 解　（1）f＝ln x＋x，定义域是，f'＝x－a＋1＋ln x. ∵1是函数f的极值点， ∴f'＝2－a＝0，解得a＝2， 经检验a＝2符合题意. （2）证明：令f＝0，即ln x＋1＝0，令h＝ln x＋1， 则h'＝ln x＋1－＝. 令m＝xln x＋x－a，则m'＝ln x＋2， 令m'＝0，解得x＝e－2，而m＝－e－2－a＜0， 当0＜x＜e－2时，m'＜0，m单调递减； 当x＞e－2时，m'＞0，m单调递增， 当x趋向于0时，m趋向于－a，即m＜0， m＝－e－2－a＜0，m＝1－a≥0， 故存在x0∈（e－2，1），使得m＝x0ln x0＋x0－a＝0，即h'＝0， 故当0＜x＜x0时，h'＜0，h单调递减， 当x＞x0时，h'＞0，h单调递增， 故h＝h＝ln x0＋1＝1－＞0， 故h＞0，h即f无零点. 3.(2023·辽宁沈阳·统考一模)已知f(x)＝(x2－2x)ln x＋x2＋2(1－a)x，a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解　(1)∵f ′(x)＝(2x－2)ln x＋(x2－2x)＋2x＋2(1－a)＝2(x－1)ln x＋x－2＋2ax－x＋2－2a＝2(x－1)ln x＋2a(x－1)＝2(x－1)(ln x＋a)(x>0). ∵a>0，∴0<e－a<1， 当x∈(0，e－a)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(e－a，1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增. 综上所述，f(x)在(0，e－a)和(1，＋∞)上单调递增，在(e－a，1)上单调递减. (2)情况一：若f(1)>0，即a<时，由f(x)的单调性，其在(e－a，＋∞)上恒为正，无零点， 在增区间(0，e－a)至多有一个零点，不符合题意. 情况二：若f(1)<0，即a>时， 由于f(2)＝0＋4＋4(1－a)＝2>0，由零点存在定理，f(x)在区间(1，2)上存在一个零点， 取x∈(0，1)，则x－2<－1，ln x<0，x>0， f(x)＝x>x[(－1)ln x＋0＋2(1－a)]， 当x∈(0，e2(1－a))时，f(x)>0，由于f(x)在区间(0，e－a)上单调递增， 故f(x)在(0，e－a)恒为正，无零点，由零点存在定理，f(x)在区间(e－a，1)上存在一个零点，符合题意. 情况三：若f(1)＝0，即a＝时，同情况二可得f(x)在增区间(0，e－a)恒为正，无零点， f(x)仅有x＝1一个零点，不符合题意. 综上，a的取值范围是. 4.设函数f＝x2＋mln. （1）若m＝－1， ①求曲线f在点处的切线方程； ②当x∈时，求证：f＜x3. （2）若函数f在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 解　（1）①当m＝－1时，f＝x2－ln，可得f'＝2x－＝， 则f'＝－1，f＝0， 可得曲线f在点处的切线方程为 y－0＝－1×，即x＋y＝0. ②证明：令h＝f－x3＝－x3＋x2－ln（x＋1）， 则h'＝－3x2＋2x－＝－， 当x∈（1，＋∞）时，可得h'＜0，h在上单调递减， 又因为h＝－ln 2＜0，所以h＜0，即x2－ln（x＋1）＜x3，即f＜x3， 即当x∈时，f＜x3. （2）由函数f＝x2＋mln，x∈，可得f'＝2x＋＝， 令g＝2x2＋