课时检测训练19 构造函数证明不等式（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练19　构造函数证明不等式 ➢对应学生用书P265 1.(2023·新高考全国Ⅱ卷节选)证明：当0<x<1时，x－x2<sin x<x. 证明　构建F(x)＝x－sin x，x∈(0，1)，则F′(x)＝1－cos x>0对∀x∈(0，1)恒成立， 则F(x)在(0，1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0， 所以x>sin x，x∈(0，1)； 构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0，1)， 则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0，1)， 构建g(x)＝G′(x)，x∈(0，1)，则g′(x)＝2－sin x>0对∀x∈(0，1)恒成立， 则g(x)在(0，1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0， 即G′(x)>0对∀x∈(0，1)恒成立， 则G(x)在(0，1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0， 所以sin x>x－x2，x∈(0，1). 综上所述，x－x2<sin x<x. 2.(2023·陕西咸阳·统考一模)已知函数f(x)＝(x∈R). (1)求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x. 解　(1)由题知，f(0)＝0，f ′(x)＝， 所以切点为(0，0)，斜率为f ′(0)＝＝1， 所以所求切线为x－y＝0. (2)证明：f(x)≤x(x∈[0，π])，即≤x(x∈[0，π])⇔xex－sin x≥0(x∈[0，π]). 令g(x)＝xex－sin x，x∈[0，π]，则g′(x)＝ex＋xex－cos x， 令h(x)＝ex＋xex－cos x，x∈[0，π]，则h′(x)＝2ex＋xex＋sin x>0在x∈[0，π]上恒成立， 所以h(x)在[0，π]上单调递增，有h(x)≥h(0)＝0， 所以g′(x)≥0在x∈[0，π]恒成立，即g(x)在[0，π]上单调递增， 所以g(x)≥g(0)＝0，即xex－sin x≥0(x∈[0，π]). 综上，当x∈[0，π]时，f(x)≤x. 3.（2022·山西太原·二模）已知函数f（x）＝lnx＋，g（x）＝ex＋sin x，其中a∈R. （1）试讨论函数f的单调性； （2）若a＝1，证明：f（x）＜. 解　（1）f（x）＝ln x＋的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝－＝. 当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞a，∴f（x）在（a，＋∞）上单调递增；令f'（x）＜0，解得0＜x＜a， ∴f（x）在（0，a）上单调递减. 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无减区间； 当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增. （2）证明：∵a＝1，∴f（x）＝ln x＋，即证ln x＋＜. ∵x＞0，即证ex＋sin x－xln x－1＞0. 当x∈（0，1）时，ex＞1，sin x＞0，xln x＜0， ∴ex＋sin x－xln x－1＞1－1＝0. 当x∈[1，＋∞）时，令g（x）＝ex＋sin x－xln x－1，则g'（x）＝ex＋cos x－ln x－1， g″（x）＝ex－sin x－≥e－1－1＞0， ∴g'（x）＝ex＋cos x－ln x－1在[1，＋∞）上单调递增， ∴g'（x）≥g'（1）＝e＋cos 1－0－1＞0， ∴g（x）＝ex＋sin x－xln x－1在[1，＋∞）上单调递增， ∴g（x）≥g（1）＝e＋sin 1－0－1＞0. 综上所述，f（x）＜，即f（x）＜. 4.（2023·湖北武汉高三模拟）已知函数f＝ex－x＋acos x. （1）若函数f在上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：当a≥1时，f＞xln x＋1－ax. 解　（1）因为函数f在上单调递增， 所以f'＝ex－1－asin x≥0在上恒成立. 当a≤0时，即－a≥0，因为x∈，所以sin x≥0，则－asin x≥0.又ex－1≥0，所以ex－1－asin x≥0，即f'≥0恒成立，符合题意； 当a＞0时，令g＝ex－1－asin x，则g'＝ex－acos x，设n＝ex－acos x，则n'＝ex＋asin x＞0， 则g'在上单调递增，当0＜a≤1时，g'＝1－a≥0，g'≥g'＝0，所以g在上单调递增，即g≥g＝0，符合题意； 当a＞1时，g'＝1－a＜0，g'＝＞0，则存在x0∈，有g'＝0， 当0＜x＜x0时，g'＜0，g单调递减，此时g＜g＝0，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围. （2）证明：要证f＞xln x＋1－ax，即证ex－x＋acos x＞xln x＋1－ax，x∈， 即证ex＋a－x－1－xln x＞0，x∈.