课时检测训练17 导数与函数的极值、最值（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练17　导数与函数的极值、最值 ➢对应学生用书P262 1.（多选）函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则 （　　） A.为f（x）的极大值点 B.－2为f（x）的极小值点 C.2为f（x）的极大值点 D.为f（x）的极小值点 解析　由f'（x）图象可得，当x＜－2时，f'（x）＜0；当－2＜x＜时，f'（x）＞0； 当＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0， 所以f在和上单调递减，在和上单调递增， 函数在x＝－2和x＝2处取得极小值，在x＝处取得极大值，故选AB. 答案　AB 2.函数y＝在[0，2]上的最小值是(　　) A. B. C.0 D. 解析　因为y＝，所以y′＝＝， 当x∈[0，1)时，y′>0，函数单调递增； 当x∈(1，2]时，y′<0，函数单调递减， 所以当x＝0时，函数值为0，当x＝2时，函数值为，所以其最小值为0. 答案　C 3.(2023·广西南宁·统考二模)已知函数f(x)＝a ln x－的极值点为1，且f ′(2)＝1，则f(x)的极小值为(　　) A.－1 B.－a C.b D.4 解析　f ′(x)＝＋＝，f ′(1)＝0，f ′(2)＝1， 所以解得f(x)＝4ln x＋， 所以f ′(x)＝，当x∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以x＝1是函数的极小值点，f(1)＝4. 答案　D 4.(2023·山东淄博·统考三模)中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩W＝xy2.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为(　　) A. B. C.1 D. 解析　设圆的直径为d，则x2＋y2＝d2，∴y2＝d2－x2， W＝x(d2－x2)＝(－x3＋d2x)，0<x<d， 令W′＝(－3x2＋d2)＝0，x＝d， 由W′>0时，解得0<x<d；由W′<0时，解得x>d， 所以W在上单调递增，在上单调递减， 所以x＝d时，W取最大值. 此时y＝＝d，所以＝＝. 答案　B 5.(多选)(2023·山西阳泉·统考二模)已知f(x)＝ax3＋3bx＋b2在x＝－1处取得极大值3，则下列结论正确的是(　　) A.ab＝－1 B.ab＝－9 C.f(1)＝－3 D.f(0)＝1 解析　由题意可得f ′(x)＝3ax2＋3b， 且x＝－1是函数f(x)的极大值点，即f ′(－1)＝3a＋3b＝0，可得a＝－b. 又极大值为3，所以f(－1)＝－a－3b＋b2＝3，解得b＝－1或b＝3. 当b＝3时，a＝－3，此时f ′(x)＝－9(x－1)(x＋1)， x∈(－1，1)时，f ′(x)>0，x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0， 所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增， 此时函数f(x)在x＝－1处取得极小值，与题意不符，即b＝3舍去； 当b＝－1时，a＝1，此时f ′(x)＝3(x－1)(x＋1)， x∈(－1，1)时，f ′(x)<0，x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减， 此时函数f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意， 所以a＝1，b＝－1，即ab＝－1，所以A正确，B错误； 此时f(x)＝x3－3x＋1，所以f(1)＝－1，f(0)＝1，即C错误，D正确. 答案　AD 6.已知函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处取得极小值－3，且g（x）＝x3－x2＋1在区间（c，c＋4）上存在最小值，则a＋b＋c的取值范围是 （　　） A.（4，8） B.[4，8） C.（5，8） D.[5，8） 解析　由题意，函数f＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处取得极小值－3，则有 f'（x）＝12x2－2ax－2b，则 解得又因为g（x）＝x3－x2＋1在区间上存在最小值，则g'＝x2－2x，当x＜0或x＞2时，g'＞0；当0＜x＜2时，g'（x）＜0，所以函数g在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故函数g的极小值为g＝－，令g＝－，则x＝－1或x＝2.因为g在区间上存在最小值，则有－1≤c＜2＜c＋4，则有－1≤c＜2，则5≤a＋b＋c＜8. 答案　D 7.(2023·四川成都·统考二模)函数f(x)＝x3－x2＋1的极大值为________.