课时检测训练16 导数与函数的单调性（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练16　导数与函数的单调性 ➢对应学生用书P260 1.下列函数中，在区间上单调递减的是 （　　） A.y＝－x B.y＝x2－x C.y＝ln x－x D.y＝ex 解析　对于A：y＝－x，则y'＝－－1＜0，所以y＝－x在（0，＋∞）上单调递减，故A满足条件； 对于B：y＝x2－x的对称轴为直线x＝，开口向上，所以在上单调递增，故B不满足条件； 对于C：y'＝－1＝，由y'＝＜0，解得x＞1，即函数的单调递减区间为，故C不满足条件； 对于D：y＝ex在定义域R上单调递增，故D不满足条件. 答案　A 2.函数y＝的单调递增区间是 （　　） A. B. C. D. 解析　由题意得，函数y＝的定义域为，y'＝， ∴当x∈时，y'＞0；当x∈时，y'＜0，∴y＝的单调递增区间为. 答案　D 3.设f'是函数f的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f和y＝f'的图象不可能是 （　　） 解析　对于A，f＝x2和f'＝x可满足，故A可能成立； 对于B，f＝ln x和f'＝可满足，故B可能成立； 对于C，f＝2x和f'＝2xln 2可满足，故C可能成立； 对于D，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任意一个函数图象为导函数的图象，则原函数的切线斜率应该恒非负或非正，故不满足，故D错误.故选D. 答案　D 4.若函数f（x）＝xln x－ax＋1在[e，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 （　　） A.（－∞，2） B.（－∞，2] C.（2，＋∞） D.[2，＋∞） 解析　f'（x）＝1＋ln x－a，又f（x）在[e，＋∞）上单调递增，故f'（x）≥0在[e，＋∞）上恒成立，而x∈[e，＋∞）时，易得f'（x）min＝2－a，只需要2－a≥0即可，故a≤2. 答案　B 5.设函数f在R上存在导数f'，对任意的x∈R，有f'＞x，若f－f≥－k，则k的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析　由题意x∈R，f'＞x，构造函数g＝f－x2， 则g'＝f'－x＞0，得g在R上单调递增，由f－f≥－k， 得g－g≥0，即g≥g， 根据函数g在R上单调递增，可得1－k≥k，解得k≤. 所以k的取值范围是. 答案　B 6.（2023·江西赣州·二模）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为 （　　） A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.c＜b＜a D.b＜a＜c 解析　令f＝，则f'＝， 当x∈时，f'（x）＞0，f单调递增； 当x∈时，f'（x）＜0，f单调递减， 当x＝e时，f取得极大值，则a＝＝f＞b＝＝f，c＝＝＞， 故b＜a＜c. 答案　D 7.若函数f＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间恰为，则实数a的值为　　　　.  解析　f＝x3－x2＋ax＋4的导函数为f'＝x2－3x＋a. 因为函数f（x）的单调递减区间恰为，所以－1和4是f'＝0的两根， 所以a＝－1×4＝－4. 答案　－4 8.（2022·山东泰安·模拟）已知函数f（x）＝－x3＋ax2，写出一个同时满足下列两个条件的f（x）：　　　　.①在[1，＋∞）上单调递减；②曲线y＝f（x）（x≥1）存在斜率为－1的切线.  解析　若f（x）同时满足所给的两个条件，则f'（x）＝－3x2＋2ax≤0对x∈[1，＋∞）恒成立，解得a≤，即a≤， 且f'（x）＝－3x2＋2ax＝－1在上有解，即a＝－在上有解，由函数的单调性可解得a＝－≥1.所以1≤a≤. 则f（x）＝－x3＋x2. 答案　f（x）＝－x3＋x2（答案不唯一） 9.（2022·江西·南昌市八一中学三模）记定义在R上的可导函数f的导函数为f'，且f'－f＞0，f＝1，则不等式f＞ex－1的解集为　　　　.  解析　设g＝，g'＝＝＞0，所以函数g单调递增，且g＝＝，不等式f＞ex－1⇔＞⇔g＞g，所以x＞1. 答案　 10.已知函数f＝－ax2＋ln x（a∈R），讨论f的单调性. 解　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－2ax＋＝， 当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时﹐由f'（x）＝0，得x＝， 由f'（x）＞0，得x∈；由f'（x）＜0，得x∈， 于是有f（x）在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时﹐f（x）在上单调递增，在上单调递减. 11.已知函数f＝x3＋ax2＋x＋1. （1）讨论函数f（x）的单调区间； （2）设函数f（x）在区间上是减函数，求a的取值范围. 解　（1）f'＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4a2－12， 当Δ≤0，即－≤a≤时，f'≥0恒成立，f在R上单调递增； 当Δ＞0，即a＜－或a＞时，f'＝0⇒x1＝，x2＝， 所以f在区间，上，f'＞0，f单调递