课时检测训练4 基本不等式（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练4　基本不等式 ➢对应学生用书P238 1.下列命题正确的是(　　) A.若a≠0，则a2＋≥4 B.若a<0，则a＋≥－4 C.若a>0，b>0，则a＋b≥2 D.若a<0，b<0，则＋≥2 解析　易知C正确； 对于A，因为a≠0，所以a2>0，则a2＋≥2＝4，当且仅当a2＝⇒a＝±2时取“＝”，故A正确； 对于B，若a＝－1，则a＋＝－5，故B错误； 对于D，因为a<0，b<0，所以>0，>0，则＋≥2＝2，当且仅当＝⇒a＝b时取“＝”，故D正确. 故选ACD. 答案　ACD 2.已知x>1，则x＋的最小值是(　　) A.3 B.8 C.12 D.20 解析　因为x>1，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝时取等号，即当x＝2时取等号，故选A. 答案　A 3.设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 解析　因为x2＋＝1，所以y2＝2－2x2≥0，解得x∈[0，1]，故x＝x＝x＝≤×＝，当且仅当2x2＝3－2x2，即x＝时，等号成立，故x的最大值为. 答案　C 4.若m>0，n>0且m＋n＝2，则＋的最小值等于(　　) A.2 B. C.3 D. 解析　因为m>0，n>0且m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立. 答案　D 5.已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为 （　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析　根据题意可得2xy＝1－x2，由x＞0，得y＝＝－. 由y＝－＞0，可得x2＜1，即0＜x＜1， 3x2＋4y2＝3x2＋4＝4x2＋－2≥2－2＝2， 当且仅当4x2＝，即x＝时取等号，所以3x2＋4y2的最小值为2. 答案　B 6.(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A.＋最大值为 B.a2＋b2最小值为 C.ab最小值为 D.＋最小值为 解析　方法一：对A选项，由a>0，b>0，a＋b＝1≥，则＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对B选项，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×＝＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对C选项，因为a>0，b>0，1＝a＋b≥2，所以≤⇒ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C不正确；对D选项，因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以(3a＋3b)＝[(a＋2b)＋(2a＋b)]＝≥×＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确.故选ABD. 方法二：对A选项，由a>0，b>0，≤可得≤＝，即＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对B选项，由≤可得≤，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；对C选项，因为a>0，b>0，≤，所以≤⇒ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C不正确；对D选项，由a>0，b>0，≤可得≤＝＝，即＋≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ABD. 答案　ABD 7.已知正数x，y满足x＋＝2，则的最小值是　　　　.  解析　因为x，y为正数，由基本不等式可得2＝x＋≥2＝，所以≥， 当且仅当即当x＝4y＝1时，等号成立，故的最小值为. 答案　 8.能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层厚度h（单位：厘米）满足关系：N（h）＝，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设F为隔热层的建造费用与30年的能源消耗费用总和，那么使F达到最小值时，隔热层厚度h＝　　　　厘米.  解析　由题意得，当h＝0时，N（h）＝＝10，解得m＝40. 又F（h）＝9h＋30×N（h）＝9h＋30×（0≤h≤10）， 所以F（h）＝9h＋＝3（3h＋4）＋－12≥2－12＝108， 当且仅当3（3h＋4）＝，即h＝时，等号成立. 答案　 9.若对任意x∈（0，＋∞），不等式≥恒成立，则a的最小值是　　　　.  解析　因为x＞0，所以a≥＝恒成立. 又≤＝，当且仅当x＝2时，等号成立.所以a≥. 答案　 10.（2023·贵州贵阳·模拟）已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0. （1）若a＜b＜0，求证：＜； （2）若a＜0，b＜0，abc＝1，求c的最小值. 解　（1）证明：由a＜b＜0，且a＋b＋c＝0，得c＞0，－a＞