7.1.1数系的扩充和复数的概念（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

7.1.1数系的扩充 和复数的概念 复习导入 重要数集： 思考：“数”是万物的本原，你知道这些数是怎么来的吗？ 新知探究 今天真顺，可是我现在共捕了多少头野猪呢？ 有办法了，用结绳来计数！ 我真是天才！ 远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5…… 计数的需要 自然数 新知探究 记出入账的需要，产生了负数 相反量的需要 （方程：） 负数 新知探究 等额公平分配的需要，产生了分数 平分问题的需要 （方程：） 分数 新知探究 毕达哥拉斯 （约公元前560—480年） 1 1 ? 边长为1的正方形的对角线长是多少?，产生了无理数 度量计算的需要 （方程：） 无理数 数学小知识：约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机。 新知探究 思考：观察数系扩充的过程，结合方程的解，体会熟悉扩充的必要性和“规则” 随着社会发展，数系在不断扩充． 同时，数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 新知探究 问题1：能否求出的解？ 追问：我们知道，像方程在实数集上无解，那么，能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，引进新的数，使方程有解？ 引入一个新数，使得是方程的解， 即： . 历史上，新数是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“y”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 新知探究 问题2：添加“新数”后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数数集中仍然成立。那么，把新数“”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？ 1+i 2i 1+2i i a b i a+i bi 新知探究 (1)复数的定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，规定 (2)复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母表示，即，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部． 问题3：复数是实数的充要条件是什么？ 新知探究 问题3：复数是实数的充要条件是什么？ 追问1：复数的充要条件是什么？ 由特殊到一般 复数相等的充要条件： 在复数集中任取两个数.我们规定：与相等当且仅当且. 追问2：复数能比较大小吗？ 只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小. 新知探究 问题4：进一步地，你能对复数进行分类吗？ 追问：例如7，，，，，，你能将上述复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部吗？ 新知探究 问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集之间的关系？ 辨析1：判断正误. (1)复数是纯虚数.( ) (2)若为实数，则一定不是虚数( ) (3)实数集和虚数集的交集不是空集.( ) × × √ 辨析2：已知复数满足，则 【答案】 -1 练习巩固 练习1：在，, , 这几个数中，纯虚数的个数为(　　) ．0　 　　．1 ．2 ．3 【答案】 变式1-1：已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数a等于(　　) ．－3 ．3 ．－1 ．1 【答案】 变式1-2：若复数的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　) ．2 . ． ．－2 【答案】 练习巩固 变式1-3：(多选)下列说法中错误的是（ ）. .复数的虚部是 .形如的数一定是虚数 .若，，则是纯虚数 .若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 变式1-4：下列说法中正确的是( ). .复数由实数、虚数、纯虚数构成 .若复数是虚数，则必有 .在复数中，若，则复数一定不是纯虚数 .若且，则 练习巩固 例1：当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 解：(1)当，即时，复数是实数. (2)当，即时，复数是虚数. (3)当，且时，即时，复数是纯虚数. 练习巩固 练习2：当为何实数时，复数. (1)是虚数； (2)是纯虚数. 解：(1)当即或时，是虚数. (2)当即或时，是纯虚数. 练习巩固 变式2-1：当为何实数时，复数. (1)是实数； (2). 解：(1)当解得. 即时，是实数. (2)∵， ∴为实数，需满足当解得. 练习巩固 练习3：若，，且，求的值。 解：由，得且， 解得，， 所以或 变式3-1：若，则实数的值是______. 【答案