16.3 二次根式的加减-2023-2024学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

6.3二次根式的加减 【考点梳理】 考点一：同类二次根式 考点二：二次根式的加减运算 考点三：二次根式的混合运算 考点四：分母的有理化 考点五：比较二次根式的大小 考点六：二次根式的化简求值 考点一：可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m+n=（m+n） 考点二、二次根式的加减 ★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 ★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。 考点三、二次根式的混合运算 ★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 ★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。 技巧归纳总结：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 题型一：同类二次根式 1．（2024上·江苏苏州·八年级统考期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·北京平谷·八年级统考期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024上·上海闵行·八年级校考期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二：二次根式的加减运算 4．（2024上·四川成都·八年级统考期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024下·全国·八年级随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； 6．（2024下·全国·八年级假期作业）计算： (1)；(2)；(3)． 题型三：二次根式的混合运算 7．（2024上·山东滨州·八年级校考期末）计算： (1)； (2)． 8．（2024上·江苏·八年级统考期末）计算： (1)； (2)． 9．（2024上·宁夏银川·八年级校考期末）计算． (1)；(2)；(3)． 题型四：分母的有理化 10．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 11．（2024下·八年级课时练习）阅读下面的问题： =；=；=； … (1)求与的值； (2)计算+……+． 12．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，， 利用以上结论解答以下问题： (1)__________； (2)应用上面的结论，求下列式子的值， ． 题型五：比较二次根式的大小 13．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（2021下·浙江台州·八年级统考期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 15．（2024上·四川达州·八年级统考期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 题型六：二次根式的化简求值 16．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 17．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 18．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴