16.2：二次根式的乘除-2023-2024学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

16.2：二次根式的乘除 【考点梳理】 考点一：二次根式的乘法 考点二：二次根式的除法 考点三：二次根式的乘除混算 考点四：最简二次根式的判断 考点五：化为最简二次根式问题 考点六：已知最简二次根式求参数 考点七：二次根式乘除综合问题 知识点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 知识点二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 知识点三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 知识点四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写为===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 知识点五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 题型一：二次根式的乘法 1．（2023上·山西晋中·八年级校考）下列计算正确的有（    ） ① ② ③ ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质判断，即可得到答案． 【详解】解：，即①计算错误，②计算正确； ，即③计算正确，④原计算错误； 则正确的个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质是解题关键． 2．（2024下·全国·八年级随堂练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 3．（2024下·全国·八年级随堂练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)14 (2)8 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ． （2） ． 题型二：二次根式的除法 4．（2023上·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质化简和二次根式除法依次计算各项后即可解答，熟练掌握二次根式的化简和二次根式除法运算法则是解题的关键． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选：． 5．（2024下·全国·八年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 6．（2023·上海·八年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 题型三：二次根式的乘除混算 7．（2024下·安徽蚌埠·八年级校