05挑战压轴题--解答题三（真题汇编+压轴特训）-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（上海卷）

05挑战压轴题（解答题三） 1．（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 2．（2022·上海·统考中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 3．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 1．（2024上·河南周口·九年级统考期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．    (1)观察发现 如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短． 作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______． (2)实践运用 如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值． (3)拓展迁移 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值． 2．（2024上·湖南怀化·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点．点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 3．（2024上·江苏连云港·九年级统考期末）问题探究：如图①，在四边形中，，探究线段、、之间的数量关系． 小江同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处，点、分别落在点A、处，易证点、A、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 简单应用：（1）在图①中，若，则______； （2）在图②中，是的直径，点、在上，是弧的中点．若，则______； 拓展延伸：（3）如图③，．探究线段、、之间的数量关系：若图③中，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出面积的最大值； 问题解决：（4）如图④，公园里有一个四边形的人工湖，米，米，已经修建一座观光桥，恰巧满足，米，现在再修建一座观光桥，其中、分别是、的中点，则的长度为______米． 4．（2023上·重庆梁平·九年级校考期中）在中，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若．求证：； (3)如图3，点H为线段上一点，，点K是直线上的一个动点，连接．将线段绕点G顺时针旋转得到线段，点P是线段上的一个动点连接，若，，请直接写出的最小值． 5．（2024上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）【课本再现】 （1）如图1，都是等边三角形，连接，其中与相等的角是　　． 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，，点E，F分别在边上，且． ①求证：． ②若，点E在边上从点B向点C运动，设，，求y与x的函数关系式． 【拓展运用】 （3）如图3，在四边形中，，，是的平分线，求的长． 6．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 7．（2024上·河南许昌·九年级统考期末）如图，正方形边长为3，M是边一点（不与A，B重合），连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接；与边交于点E．