8.2 一元线性回归模型及其应用(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

Ｃ 组􀅰创新拓展 某农科所对冬季昼夜温差(最高温度与最低 温度的差)大小与某反季节大豆新品种一天 内发芽数之间的关系进行了分析研究ꎬ他们 分别记录了 １２ 月 １ 日至 １２ 月 ６ 日每天昼夜 最高、最低的温度(如图甲)ꎬ以及实验室每天 每 １００ 颗种子中的发芽数情况(如图乙) . (１)请画出发芽数 ｙ 与温差 ｘ 的散点图ꎻ (２)判断两个变量是否线性相关ꎬ计算样本相 关系数ꎬ并刻画它们的相关程度. 参考数据:∑ ６ ｉ ＝ １ ｘｉ ＝ ７５ꎬ∑ ６ ｉ ＝ １ ｙｉ ＝ １６２ꎬ∑ ６ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ２ ０５１ꎬ ∑ ６ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ６ ｘ２≈４. ２ꎬ ∑ ６ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ － ６ ｙ２≈６. ５. 参考公式:样本相关系数 ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ ｙｉ － ｎ ｘ　ｙ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ２ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ － ｎ ｙ２ (当 ｜ ｒ ｜ > ０. ７５ 时ꎬ认为成对样本数据的线性 相关程度较强) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 练案[１７] 第八章　 成对数据的统计分析 ８. ２　 一元线性回归模型及其应用 Ａ 组􀅰基础自测 一、选择题 １. (多选)小明同学在做市场调查时得到如下样 本数据: ｘ １ ３ ６ １０ ｙ ８ ａ ４ ２ 他由此得到经验回归方程为 ｙ^ ＝ － ２. １ｘ ＋ １５. ５ꎬ则下列说法正确的是 ( 　 ) Ａ. 变量 ｘ 与 ｙ 负线性相关 Ｂ. 当 ｘ ＝ ２ 时ꎬｙ^ ＝ １１. ３ Ｃ. ａ ＝ ６ Ｄ. 变量 ｘ 与 ｙ 之间是函数关系 ２. 设两个变量 ｘ 与 ｙ 之间具有线性相关关系ꎬ相 关系数为 ｒꎬ经验回归方程为 ｙ^ ＝ ａ^ ＋ ｂ^ｘꎬ那么 必有 ( 　 ) Ａ. ｂ^ 与 ｒ 符号相同 Ｂ. ａ^ 与 ｒ 符号相同 Ｃ. ｂ^ 与 ｒ 符号相反 Ｄ. ａ^ 与 ｒ 符号相反 ３. 如图所示的是四张残差图ꎬ其中回归模型的 拟合效果最好的是 ( Ｂ ) Ａ Ｂ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — １１７ — Ｃ Ｄ ４. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的 关系ꎬ随机调查了该社区 ５ 户家庭ꎬ得到如下 统计数据表: 收入 ｘ /万元 ８. ２ ８. ６ １０. ０ １１. ３ １１. ９ 支出 ｙ /万元 ６. ２ ７. ５ ８. ０ ８. ５ ９. ８ 根据上表可得经验回归方程 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ꎬ其中 ｂ^ ＝ ０. ７６ꎬａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ. 据此估计ꎬ该社区一户年 收入为 １５ 万元的家庭的年支出为 ( Ｂ ) Ａ. １１. ４ 万元 Ｂ. １１. ８ 万元 Ｃ. １２. ０ 万元 Ｄ. １２. ２ 万元 ５. 已知 ｘ 与 ｙ 之间的几组数据如表: ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ｙ ０ ２ １ ３ ３ ４ 假设根据上表数据所得经验回归方程为 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ꎬ若某同学根据上表中的前两组数据 (１ꎬ０)和(２ꎬ２)求得的直线方程为 ｙ′ ＝ ｂ′ｘ ＋ ａ′ꎬ则以下结论正确的是 ( Ｃ ) Ａ. ｂ^ > ｂ′ꎬａ^ > ａ′ Ｂ. ｂ^ > ｂ′ꎬａ^ < ａ′ Ｃ. ｂ^ < ｂ′ꎬａ^ > ａ′ Ｄ. ｂ^ < ｂ′ꎬａ^ < ａ′ 二、填空题 ６. 已知经验回归方程 ｙ^ ＝ ２ｘ ＋ １ꎬ而试验得到一 组数据是(２ꎬ４. ９)ꎬ(３ꎬ７. １)ꎬ(４ꎬ９. ２)ꎬ则残差 平方和是 ０. ０６　 . ７. 如图是一组数据(ｘꎬｙ)的散点图ꎬ经最小二乘 估计公式计算ꎬｙ 与 ｘ 之间的经验回归方程为 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ １ꎬ则 ｂ^ ＝ ０. ８　 . ８. 在研究两个变量的相关关系时ꎬ观察散点图发现 样本点集中于某一条指数曲线 ｙ ＝ ｅｂｘ ＋ ａ的周围ꎬ 令 ｚ ＝ ｌｎ ｙꎬ求得经验回归方程为 ｚ^ ＝ ０. ２５ｘ － ２.５８ꎬ则该模型的经验回归方程为 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 小李准备在某商场租一间商铺开服装店ꎬ为 了解市场行情ꎬ在商场调查了 ２０ 家服装店ꎬ统 计得到了它们的面积 ｘ(单位:ｍ２)和日均客 流量 ｙ(单位:人) 的数据(ｘｉꎬｙｉ)( ｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬ ２０)ꎬ