第6章 计数原理 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测􀅰固双基 １. 二项式( ｘ － １) ｎ 的奇数项二项式系数和是 ６４ꎬ则 ｎ 等于 ( Ｃ ) Ａ. ５ Ｂ. ６ Ｃ. ７ Ｄ. ８ ２. 在(ａ ＋ ｂ) ｎ 的展开式中ꎬ只有第 ４ 项的二项式 系数最大ꎬ则 ｎ ＝ ( Ｃ ) Ａ. ４ Ｂ. ５ Ｃ. ６ Ｄ. ７ ３. (１ ＋ ｘ) ｎ(３ － ｘ)的展开式中各项系数的和为 １ ０２４ꎬ则 ｎ 的值为 　 　 　 　 . ４. 若(１ ＋ ｘ ＋ ｘ２) ６ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋ 􀆺 ＋ ａ１２ｘ１２ꎬ 则 ａ２ ＋ ａ４ ＋􀆺 ＋ ａ１２ ＝ 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[７] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末知识梳理 知识结构􀅰理脉络 要点梳理􀅰晰精华 知识点 １ 基本计数原理 　 　 １. 分类加法计数原理:Ｎ ＝ ｍ１ ＋ ｍ２ ＋ 􀆺 ＋ ｍｎ . ２. 分步乘法计数原理:Ｎ ＝ ｍ１ × ｍ２ × 􀆺 × ｍｎ . 知识点 ２ 排列 　 　 １. 排列:一般地ꎬ从 ｎ 个不同元素中ꎬ任取 出 ｍ(ｍ≤ｎꎬｍꎬｎ∈Ｎ∗)个元素ꎬ按照一定的顺 序排成一列ꎬ称为从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个 元素的一个排列. ２. 排列数:从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ(ｍ≤ ｎꎬｍꎬｎ∈Ｎ∗)个元素的所有排列的个数ꎬ用符号 Ａｍｎ 表示. ３. 排列数公式:Ａｍｎ ＝ ｎ(ｎ － １)􀆺(ｎ － ｍ ＋ １) ＝ ｎ!(ｎ － ｍ)!. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 027 ４. 全排列:一般地ꎬｎ 个不同元素全部取出 的一个排列ꎬ称为 ｎ 个不同元素的一个全排列. ５. 排列数的性 质: Ａｍｎ ＝ ｎＡｍ －１ｎ －１ ＝ ｍＡｍ －１ｎ －１ ＋ Ａｍｎ －１ . 知识点 ３ 组合 　 　 １. 组合:一般地ꎬ从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ (ｍ≤ｎꎬｍꎬｎ∈Ｎ∗)个元素并成一组ꎬ称为从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ 个元素的一个组合. ２. 组合数:从 ｎ 个不同元素中取出 ｍ(ｍ≤ ｎꎬｍꎬｎ∈Ｎ∗)个元素的所有组合的个数ꎬ用符号 Ｃｍｎ 表示. ３. 组 合 数 公 式: Ｃｍｎ ＝ Ａｍｎ Ａｍｍ ＝ ｎ(ｎ － １)􀆺(ｎ － ｍ ＋ １) ｍ! ＝ ｎ! ｍ! (ｎ － ｍ)!. ４. 组合数的性质: Ｃｍｎ ＝ Ｃｎ －ｍｎ ꎻ Ｃｍ ＋１ｎ ＋ Ｃｍｎ ＝ Ｃｍ ＋１ｎ ＋１ . 知识点 ４ 二项式定理 　 　 １. 二项式定理:(ａ ＋ ｂ) ｎ ＝ Ｃ０ｎａｎ ＋ Ｃ１ｎａｎ －１ｂ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｋｎａｎ － ｋｂｋ ＋􀆺 ＋ Ｃｎｎｂｎ(ｎ∈Ｎ∗) . ２. 二项展开式的通项公式:Ｔｋ ＋１ ＝ Ｃｋｎａｎ － ｋｂｋꎬ ０≤ｋ≤ｎꎬｋ∈Ｎꎬｎ∈Ｎ∗ . ３. 二项式系数:第 ｋ ＋ １ 项的二项式系数为 Ｃｋｎꎬ０≤ｋ≤ｎꎬｋ∈Ｎꎬｎ∈Ｎ∗ . ４. 二项式系 数的性质 对称性 增减性与最大值 各项二项式系数和:Ｃ０ｎ ＋ Ｃ１ｎ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｋｎ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｎ －１ｎ ＋ Ｃｎｎ ＝ ２ｎ 奇数项二项式系数和等于偶 数项二项式系数和:Ｃ０ｎ ＋ Ｃ２ｎ ＋ Ｃ４ｎ ＋ 􀆺 ＝ Ｃ１ｎ ＋ Ｃ３ｎ ＋ Ｃ５ｎ ＋ 􀆺 ＝２ｎ －１ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 素养突破􀅰提技能 要点一 两个计数原理的应用 　 　 １. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理很 少单独命题ꎬ多与排列、组合等问题相结合ꎬ以选择 题或填空题的形式考查ꎬ难度适中ꎬ属中档题. ２. 应用两个原理解决有关计数问题的关键 是区分事件是分类完成还是分步完成ꎬ而分类 与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能 完成事件ꎬ能完成便是分类ꎬ否则便是分步. 对 于有些较复杂问题可能既要分类又要分步ꎬ此 时ꎬ应注意层次分明ꎬ不重不漏. 　 　 典例 １ (１)现有甲、乙、丙三种树苗可 供选择ꎬ分别种在一排五个坑中ꎬ要求相同的树 苗不能相邻ꎬ第一、五坑内只能种甲种树苗ꎬ则 不同的种法共有 ( Ｃ ) 　 　 Ａ. ４ 种 Ｂ. ５ 种 Ｃ. ６ 种 Ｄ. ７ 种 (２)如图ꎬ一个地区分为 ５ 个区域ꎬ现给区 域着色ꎬ要求相邻区域不得使用同一颜色. 现有 ４