8.2 一元线性回归模型及其应用(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测􀅰固双基 １. 有以下五组变量: ①某商品的销售价格与销售量ꎻ ②学生的学籍号与学生的数学成绩ꎻ ③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数ꎻ ④气温与冷饮销售量ꎻ ⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量. 其中两个变量成正相关的是 ( Ｄ ) Ａ. ①③ Ｂ. ②④ Ｃ. ②⑤ Ｄ. ④⑤ ２. 两个变量负相关时ꎬ散点图的特征是 ( Ｄ ) Ａ. 点散布在从左下角到右上角的区域内 Ｂ. 点散布在某带形区域内 Ｃ. 点散布在某圆形区域内 Ｄ. 点散布在从左上角到右下角的区域内 ３. 已知两个变量的 ３ 对观测数据(０ꎬ１)ꎬ(１ꎬ０)ꎬ (２ꎬ － ０. ９)ꎬ则它们的样本相关系数的大小可 能是 ( Ａ ) Ａ. － ０. ９８ Ｂ. ０ Ｃ. ０. ０２ Ｄ. ０. ９７ ４. 某公司欲知诗词日历费用 ｘ(十万元)与诗词 日历销售量 ｙ(千本)之间的关系ꎬ从其所发 行的诗词日历中随机抽取了 １０ 张ꎬ得到如下 的资料:∑ １０ ｉ ＝ １ ｘｉ ＝ ２８ꎬ∑ １０ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ ３０３. ４ꎬ∑ １０ ｉ ＝ １ ｙｉ ＝ ７５ꎬ ∑ １０ ｉ ＝ １ ｙ２ｉ ＝ ５９８. ５ꎬ∑ １０ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ２３７ꎬ则 ｙ 与 ｘ 的相关系 数 ｒ 为 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[１６] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８. ２　 一元线性回归模型及其应用 素养目标􀅰定方向 学习目标 １. 结合具体实例ꎬ了解一元线性回归模型的含义ꎬ了解模型参数的统计意义. 了解最小二乘法 原理. 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法ꎬ会使用相关的统计软件. ２. 针对实际问题ꎬ会用一元线性回归模型进行预测. ３. 了解随机误差、残差、残差图的概念. 核心素养 １. 通过对散点图、线性回归的分析ꎬ培养数据分析素养. ２. 借助回归模型的建立ꎬ培养数学建模、数据分析及数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 一元线性回归模型 　 　 一 元 线 性 回 归 模 型 的 完 整 表 达 式 为 Ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ ＋ ｅꎬ Ｅ(ｅ) ＝ ０ꎬＤ(ｅ) ＝ σ２ .{ 其中 Ｙ 称为 因变量　 或 响应变　 ꎬｘ 称为自变量或 解释　 变量ꎻａꎬｂ 为 模型的未知参数ꎬｅ 是 Ｙ 与 ｂｘ ＋ ａ 之间的 随机 误差　 . 想一想:具有相关关系的两个变量ꎬ其样本 点散布在某一条直线 ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ 的附近ꎬ可以用 一次函数 ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ 来描述两个变量之间的关 系吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 练一练: 下列说法不正确的是 ( Ｃ ) Ａ. 在回归模型中ꎬ变量间的关系是非确定 性关系ꎬ因变量不能由自变量唯一确定 Ｂ. 在函数模型中ꎬ变量间的关系是确定性 关系ꎬ因变量由自变量唯一确定 Ｃ. 在回归模型中ꎬ变量 ｘ 和 ｙ 都是普通 变量 Ｄ. 在回归模型中ꎬ回归系数 ｂ^ 可能是正的 也可能是负的 知识点 ２ 最小二乘法与经验回归方程 　 　 (１)最小二乘法 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ 称为 Ｙ 关于 ｘ 的经验回归方程ꎬ 也称经验回归函数或经验回归公式ꎬ其图形称 为 经验回归直线　 . 这种求经验回归方程的方 法叫做最小二乘法ꎬ求得的 ｂ^ꎬａ^ 叫做 ｂꎬａ 的最 小二乘估计. (２)经验回归方程的系数计算公式 经验回归方程 ｂ^ 的计算公式 ａ^ 的计算公式 ｙ^ ＝ 　 　 　 　 ｂ^ ＝ 　 　 　 　 ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘ ｉｙ ｉ － ｎ ｘ　ｙ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ ２ ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ 　 　 (３)经验回归方程的性质 ①经验回归方程一定过点 　 　 　 　 ꎻ ②一次函数 ｙ^ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^ 的单调性由 ｂ^ 的符号 决定ꎬ函数递增的充要条件是 　 　 　 　 ꎻ ③ｂ^ 的实际意义:当 ｘ 增大一个单位时ꎬｙ^ 　 　 　 　 个单位. 练一练: 如果记录了 ｘꎬｙ 的几组数据分别为(０ꎬ１)ꎬ (１ꎬ３)ꎬ(２ꎬ５)ꎬ(３ꎬ７)ꎬ那么 ｙ 关于 ｘ 的经验回归 方程必过点 ( Ｄ ) Ａ. (２ꎬ２) Ｂ. (１. ５ꎬ２) Ｃ. (１ꎬ２) Ｄ. (１. ５ꎬ４) 知识点 ３ 残差与残差分析 　 　 (１)残差 对于响应变量 Ｙꎬ通过观测得到的数据称为 观测值　 ꎬ通过经验回归方程得到的 ｙ^ 称为 预测值　 ꎬ 观测值　 减去 预测值　 称为残差. (２)残差分析 残差　 是