7.5 正态分布(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

７. ５　 正态分布 素养目标􀅰定方向 学习目标 １. 通过误差模型ꎬ了解服从正态分布的随机变量. ２. 通过具体实例ꎬ借助频率分布直方图的几何直观ꎬ了解正态分布的特征. ３. 了解正态分布的均值、方差及其含义. ４. 会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率. 核心素养 １. 通过学习正态分布ꎬ培养数学抽象和直观想象素养. ２. 借助“３σ”原则解题ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 正态分布 　 　 (１)正态密度函数ꎬ刻画随机误差的函数 ｆ(ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 ꎬｘ∈Ｒꎬ其中 μ∈Ｒꎬσ > ０ 为 参数. 对任意的 ｘ∈Ｒꎬｆ(ｘ) >０ꎬ它的图象在 ｘ 轴的 上方ꎬｘ 轴和曲线之间的区域为面积 　 　 　 　 ꎬ我 们称 ｆ(ｘ)为正态密度函数. (２)正态密度曲线:正态密度函数的图象为 正态密度曲线ꎬ简称正态曲线. (３)正态分布:①定义:若随机变量 Ｘ 的概 率密度函数为 ｆ(ｘ)ꎬ则称随机变量 Ｘ 服从正态 分布ꎻ ②记作:Ｘ ~ Ｎ(μꎬσ２)ꎻ ③特例:当 μ ＝ ０ꎬσ ＝ １ 时ꎬ称随机变量 Ｘ 服 从 标准正态　 分布. 想一想:若 Ｘ ~ Ｎ(μꎬσ２)ꎬ怎样表示上图中 阴影 ＡꎬＢ 的面积? 练一练: (多选)以下关于正态密度曲线的说法中正 确的有 ( 　 ) Ａ. 曲线都在 ｘ 轴的上方ꎬ左右两侧与 ｘ 轴 无限接近ꎬ最终可与 ｘ 轴相交 Ｂ. 曲线关于直线 ｘ ＝ μ 对称 Ｃ. 曲线呈现“中间高ꎬ两边低”的钟形形状 Ｄ. 曲线与 ｘ 轴之间的面积为 １ 知识点 ２ 正态曲线的特点 　 　 (１)曲线是单峰的ꎬ它关于直线 ｘ ＝ μ　 对称. (２)曲线在 ｘ ＝ μ 处达到峰值 　 　 　 　 . (３) 当 ｜ ｘ ｜ 无限增大时ꎬ曲线无限接近 于 ｘ 轴　 . 想一想:μꎬσ 取值不同对正态曲线有何 影响? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 057 练一练: 正态曲线函数 ｆ(ｘ) ＝ １ ３ ２π ｅ － (ｘ － １) ２ １８ ꎬｘ∈Ｒ 的 图象是图中的 ( Ｄ ) 知识点 ３ Ｘ ~ Ｎ(μꎬσ２)在区间[μ － ｋσꎬμ ＋ ｋσ](ｋ∈Ｎ∗)上的概率 　 　 (１)概率:Ｐ(μ － σ≤Ｘ≤μ ＋ σ)≈０. ６８２ ７ꎬ Ｐ(μ － ２σ≤Ｘ≤μ ＋ ２σ)≈０. ９５４ ５ꎬＰ(μ － ３σ≤Ｘ ≤μ ＋ ３σ)≈ ０. ９９７ ３　 . (２)３σ 原则:通常认为服从正态分布 Ｎ(μꎬ σ２)的随机变量 Ｘ 只取[μ － ３σꎬμ ＋ ３σ]中的值. 练一练: 关于正态分布 Ｎ(μꎬσ２)ꎬ下列说法正确的 是 ( Ｄ ) Ａ. 随机变量落在区间长度为 ３σ 的区间之 外是一个小概率事件 Ｂ. 随机变量落在区间长度为 ６σ 的区间之 外是一个小概率事件 Ｃ. 随机变量落在( － ３σꎬ３σ)之外是一个小 概率事件 Ｄ. 随机变量落在[μ － ３σꎬμ ＋ ３σ]之外是一 个小概率事件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 正态分布和正态曲线的性质 　 　 典例 １ (１) 已知三个正态密度函数 φｉ(ｘ) ＝ １ σｉ ２π ｅ － (ｘ － μｉ)２ ２σ２ｉ (ｘ∈Ｒꎬｉ ＝ １ꎬ２ꎬ３)的图象 如图所示ꎬ则下列结论正确的是 ( Ｄ ) Ａ. μ１ < μ２ ＝ μ３ꎬσ１ ＝ σ２ > σ３ Ｂ. μ１ ＝ μ２ < μ３ꎬσ１ < σ２ ＝ σ３ Ｃ. μ１ > μ２ ＝ μ３ꎬσ１ ＝ σ２ < σ３ Ｄ. μ１ < μ２ ＝ μ３ꎬσ１ ＝ σ２ < σ３ (２)如图是一条正态曲线ꎬ试根据该图象写 出相应正态密度函数的解析式ꎬ求出总体随机 变量的期望和方差. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋