7.3.1 离散型随机变量的均值(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

７. ３　 离散型随机变量的数字特征 ７. ３. １　 离散型随机变量的均值 素养目标􀅰定方向 学习目标 １. 通过具体实例ꎬ理解离散型随机变量的均值ꎬ能计算简单离散型随机变量的均值. ２. 理解离散型随机变量的均值的性质. ３. 会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题. 核心素养 １. 通过离散型随机变量的均值的学习ꎬ培养数学抽象素养. ２. 应用随机变量的均值解题ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 离散型随机变量的均值 　 　 (１)定义:一般地ꎬ如果离散型随机变量 Ｘ 的分布列如表所示: Ｘ ｘ１ ｘ２ 􀆺 ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ 􀆺 ｐｎ 　 　 则称 Ｅ(Ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 为随机变量 Ｘ 的均值或数学期望(简称为期望) . (２)意义:均值是随机变量可能取值关于取 值概率的加权平均数ꎬ反映了随机变量取值 的 平均水平　 . (３)性质:如果 Ｘ 和 Ｙ 都是随机变量ꎬ且 Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ ( ａ ≠０)ꎬ 则 Ｅ ( Ｙ) ＝ Ｅ ( ａＸ ＋ ｂ ) ＝ ａＥ(Ｘ) ＋ ｂ　 . 想一想:离散型随机变量的均值和样本的 平均数相同吗? 　 练一练: １. 若随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｘ － １ ０ １ Ｐ １２ １ ６ １ ３ 　 　 则 Ｅ(Ｘ) ＝ ( Ｃ ) 　 　 Ａ. ０ Ｂ. － １ Ｃ. － １６ Ｄ. － １ ２ ２. 设 Ｅ(Ｘ) ＝ １０ꎬ则 Ｅ(３Ｘ ＋ ５) ＝ 　 　 　 　 . 知识点 ２ 两点分布的数学期望 　 　 如果随机变量 Ｘ 服从两点分布ꎬ那么 Ｅ(Ｘ) ＝ 　 　 　 　 . 练一练: 某彩票 ３Ｄ 游戏(以下简称 ３Ｄ)ꎬ是以一个 ３ 位自然数(如:０ 记作 ０００)为投注号码的彩 票. 投注者从 ０００ ~ ９９９ 这些 ３ 位自然数中选择 一个进行投注ꎬ每注 ２ 元ꎬ如果与官方公布的三 位数相同ꎬ则视为中奖ꎬ获得奖金 １ ０００ 元ꎬ反之 则获得奖金 ０ 元. 某人随机投了一注ꎬ他获得奖 金的期望是 　 　 　 　 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 离散型随机变量的均值公式及性质 　 　 典例 １ 已知随机变量 Ｘ 的分布列 如下: Ｘ － ２ － １ ０ １ ２ Ｐ １４ １ ３ １ ５ ｍ １ ２０ 　 　 (１)求 ｍ 的值ꎻ (２)求 Ｅ(Ｘ)ꎻ (３)若 Ｙ ＝ ２Ｘ － ３ꎬ求 Ｅ(Ｙ) . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [规律方法] 　 若给出的随机变量 Ｙ 与 Ｘ 的 关系为 Ｙ ＝ ａＸ ＋ ｂ(其中 ａꎬｂ 为常数)ꎬ一般思路 是先 求 出 Ｅ(Ｘ)ꎬ 再 利 用 公 式 Ｅ ( ａＸ ＋ ｂ) ＝ ａＥ(Ｘ) ＋ ｂ 求 Ｅ(Ｙ) . 对点训练❶ (１)设随机变量 Ｘ 的分布 列如下表ꎬ且 Ｅ(Ｘ) ＝ １. ６ꎬ则 ａ － ｂ ＝ ( Ｃ ) Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ０. １ ａ ｂ ０. １ 　 　 Ａ. ０. ２ Ｂ. ０. １ Ｃ. － ０. ２ Ｄ. － ０. ４ (２)已知随机变量 Ｘ 的分布列如表: Ｘ － １ ０ １ Ｐ １３ １ ５ ｍ 　 　 若 ξ