7.2 离散型随机变量及其分布列(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

７. ２　 离散型随机变量及其分布列 素养目标􀅰定方向 学习目标 １. 通过具体实例ꎬ了解离散型随机变量的概念. ２. 理解离散型随机变量的分布列ꎬ会求某些简单的离散型随机变量的分布列. 核心素养 １. 通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习ꎬ培养数学抽象素养. ２. 借助分布列的求法ꎬ培养数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 离散型随机变量 　 　 (１)随机变量:对于随机试验样本空间 　 　 　 　 中的每一个样本点 ωꎬ都有 唯一的实数 Ｘ (ω)　 与之对应ꎬ我们称 Ｘ 为随机变量. (２)离散型随机变量:可能取值为 有限个　 或可以 一一列举　 的随机变量ꎬ我们称之为离 散型随机变量. (３)离散型随机变量的特征: ①可用数值表示ꎻ ②试验之前可以判断其出现的所有值ꎻ ③在试验之前不能确定取何值ꎻ ④试验结果能一一列出. (４)表示:随机变量用大写英文字母表示ꎬ 如 ＸꎬＹꎬＺꎻ随机变量的取值用小写英文字母表 示ꎬ如 ｘꎬｙꎬｚ. (５)本质:通过引入一个取值依赖于样本点 的变量 Ｘꎬ来刻画样本点和实数的对应关系ꎬ实 现样本点的数量化. 练一练: 下列变量ꎬ其中不是离散型随机变量的是 ( Ｃ ) Ａ. 某机场候机室中一天的旅客数量为 Ｘ Ｂ. 某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 Ｘ Ｃ. 某水电站观察到一天中长江的水位为 Ｘ Ｄ. 某立交桥一天内经过的车辆数为 Ｘ 知识点 ２ 离散型随机变量的分布列 　 　 (１)定义:设离散型随机变量 Ｘ 的可能取值 为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎꎬ我们称 Ｘ 取每一个值 ｘｉ 的概率 Ｐ(Ｘ ＝ ｘｉ) ＝ ｐｉꎬｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ 为 Ｘ 的 概率分布　 ꎬ 简称 分布列　 . (２)表示:表格 Ｘ ｘ１ ｘ２ 􀆺 ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ 􀆺 ｐｎ 　 　 (３)性质:①ｐｉ 　 　 　 　 ꎬｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎꎻ 　 　 ②ｐ１ ＋ ｐ２ ＋􀆺 ＋ ｐｎ ＝ 　 　 　 　 . 练一练: 随机变量 Ｘ 的分布列如表所示: Ｘ １ ２ ３ ４ Ｐ ０. １ ｍ ０. ３ ２ｍ 　 　 则 Ｐ(Ｘ≤２) ＝ ( Ｃ ) Ａ. ０. １ Ｂ. ０. ２ Ｃ. ０. ３ Ｄ. ０. ４ 知识点 ３ 两点分布 　 　 对于只有两个可能结果的随机试验ꎬ用 Ａ 表 示“成功”ꎬＡ表示“失败”ꎬ定义 Ｘ ＝ １ꎬＡ发生ꎻ ０ꎬＡ不发生.{ 如 果 Ｐ(Ａ) ＝ ｐꎬ则 Ｐ(Ａ) ＝１ － ｐꎬ那么 Ｘ 的分布列为 Ｘ ０ １ Ｐ １ － ｐ　 ｐ　 　 　 我们称 Ｘ 服从两点分布或 ０ － １ 分布. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 　 　 想一想:若随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｘ １ ２ Ｐ １３ ２ ３ 　 　 那么 Ｘ 服从两点分布吗? 练一练: 设某项试验的成功率是失败率的２ 倍ꎬ用随机 变量 ξ 去描述１ 次试验的成功次数ꎬ则 Ｐ(ξ ＝０)等 于 ( Ｃ ) 　 　 Ａ. ０ Ｂ. １２ Ｃ. １３ Ｄ. ２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 随机变量的概念 　 　 典例 １ (１) (多选)抛掷一枚均匀硬币 一次ꎬ不能作为随机变量的是 ( 　 ) Ａ. 抛掷硬币的次数 Ｂ. 出现正面的次数 Ｃ. 出现正面或反面的次数 Ｄ. 出现正面和反面的次数之和 (２)(多选)下列随机变量是离散型随机变 量的是 ( 　 ) Ａ. 从 １０ 张已编好号码的卡片(从 １ 号到 １０ 号)中任取一张ꎬ被取出的卡片的号数 Ｂ. 一个袋中装有 ９ 个正品和 １ 个次品ꎬ从 中任取 ３ 个ꎬ其中所含正品的个数 Ｃ. 某林场树木最高达 ３０ ｍꎬ则此林场中树 木的高度 Ｄ. 某加工厂加工的某种钢管的外径与规定 的外径尺寸之差 [分析] 　 判断一个变量是否为离散型随机 变量ꎬ关键是看它的取值能否一一列出ꎬ若能ꎬ 则是离散型随机变量ꎬ否则就不是离散型随机 变量. 　 　 [规律方法] 　 判断一个随机变量 Ｘ 是否为 离散型随机变量的具体方法 (１)明确随机试验的所有可能结果. (２)将随机试验的试验结果数量化. (３)确定试验结果所对应的实数是否可按 一定次序一一列出ꎬ如果能一一列出ꎬ则该随机 变量是离散型随机变量ꎬ否则不是