6.3.2 二项式系数的性质(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

基择性必修·第三册RJA●/数学 023 GAOZHONGXINKECHENGXUEXIZHIDAO 6.3.2二项式系数的性质 ⊙素养目标·定方向⊙ 学习目标》 1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用。 2.理解和初步掌握赋值法及其应用. 核素养沙 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养 2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养 必备知识·探新知⊙ 知识点二项式系数的性质 想一想：二项式的系数取得最大值的项的 (1)对称性：在(a+b)”的展开式中，与 系数一定是系数中最大的吗？ 的两个二项式系数相等，即 C=C0,C=C8-1,…,C=C8- (2)增减性与最大值：当<“生时，二项 练一练： 式系数C随k的增加而 .由对称性知当 1.在(a+b)"二项展开式中与第3项二项 k>”时，C随k的增加而 且在中间 式系数相同的项是 () B.第7项 取得最大值.当n是偶数时，中间一项的二项式 A.第8项 C.第9项 D.第10项 系数 取得最大值：当n是奇数时， 中间两项的二项式系数 与 2.若(1+3x)”的展开式中，第3项的二项 式系数为6，则第4项的系数为 () 相等，且同时取得最大值 A.4 B.27 (3)各二项式系数的和 C.36 D.108 ①C0+C+C2+…+C= 3.在(1+x)"(n∈N·)的二项展开式中，若 ②C+C2+C+…=C+C+C+… 只有x的系数最大，则n= 024 新教材/高中斯佩拉学习指导 SAOZHONGXINKECHENGXUEXIZHIDAO ⊙关键能力·攻重难© 题型探究 (2)在(- 的展开式中，二项式系数 题型一 二项式系数的性质及应用 最大的项为 ;二项式系数最小的项 M典例刀已知(1+2x)”的展开式中第6 为 项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系 2 的展开式中，系数最大的 数最大的项和系数最大的项。 3)在（-是 项为 [尝试作答] :系数最小的项为 题型二 求二项式系数和的问题 +典例) 设(2-√3.x)1w=a0+a,x+a2x2 +…+amxm,求下列各式的值 (1)ao (2）a1+2+a5+a4…+a10w; (3)a1+a3+a5+…+a9 (4)(a+42+…+am)2-(a1+a3+…+ 0g)3 [分析】 用赋值法求各系数的和. [尝试作答] [规律方法]1.求二项式系数最大的项， 根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两 项的二项式系数最大：当n为偶数时，中间一项 的二项式系数最大， 2.求展开式中系数最大项与求二项式系数 最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化 情况，一殷采用列不等式组，解不等式的方法 求得 e对点训练①(1)在(x+y)”的展开式 中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系 数最大的项是 ( A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第6,7项 基择性必修·第三册RJA●/数学 025 GAOZHONGXINKECHENGXUEXIZHIDAO [规律方法]1.各项的系数和 利用二项式定理证明整除问题或 一般地，二项展开式f八x)中的各项系数和 题型三 求余数 为1)，寺数项系数和为1)+(-1)]，偶 典例3(1)用二项式定理证明：11“-1 数项系数和为[1)--1)]。 能被100整除： (2)求C,+C2,+…+C除以9的余数 2.赋值法 [尝试作答] “赋值法”是求二项展开式系数问题的常用 方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值 代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时 可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决 问题时要避免漏项等情况， e对点训练②已知(1-2x)'=a+ax+ a2x2+…+ax. 求：(1)a1+a2+…+a (2)a1+a3+a5+a7 (3)a0+a2+a4+a6; (4)laoI+1a1I+|a21+…+la2l. 026 新教材/高中斯限拉学习指导 GAOZHONGXINKECHENGXUEXIZHIDAO [规律方法]1.利用二项式定理解决整除 [错解] 设(2x-1)"=an+a1x+a2x2+ 问题的基本思路 +dx", 要证明一个式子能被另一个式子整除，只 且奇次项系数之和为A,偶次项系数之和 需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均 为B. 能被另一个式子整除.因此，一般先将被除式化 则A=a1+a3+a5+…,B=ag+a3+a4 为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用 十“， “配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来 由已知可知：B-A=3 处理 再令x=-1,得a-a1+2-…+(-1)"a 2.利用二项式定理求余数的注意点 =(-3), 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于 即B-A=3",∴.n=8. 零且小于除数，利用