6.3.1 二项式定理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测􀅰固双基 １. 一个口袋中装有大小相同的 ６ 个白球和 ４ 个 黑球ꎬ从中取 ２ 个球ꎬ则这两个球同色的不同 取法有 ( Ｃ ) Ａ. ２７ 种 Ｂ. ２４ 种 Ｃ. ２１ 种 Ｄ. １８ 种 ２. ５ 名志愿者分到 ３ 所学校支教ꎬ每个学校至少 去一名志愿者ꎬ则不同的分派方法共有 ( Ａ ) Ａ. １５０ 种 Ｂ. １８０ 种 Ｃ. ２００ 种 Ｄ. ２８０ 种 ３. 四面体的一个顶点为 Ａꎬ从其他顶点和各棱的 中点中取 ３ 个点ꎬ使它们和点 Ａ 在同一平面 上ꎬ不同的取法有 ( Ｂ ) Ａ. ３０ 种 Ｂ. ３３ 种 Ｃ. ３６ 种 Ｄ. ３９ 种 ４. 编号为 １ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ 的七盏路灯ꎬ晚上用 时只亮三盏灯ꎬ且任意两盏亮灯不相邻ꎬ则不 同的开灯方案有 　 　 　 　 　 种. 请同学们认真完成练案[５] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６. ３　 二项式定理 ６. ３. １　 二项式定理 素养目标􀅰定方向 学习目标 １. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. ２. 掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式. ３. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 核心素养 １. 通过二项式定理的学习ꎬ提升逻辑推理素养. ２. 借助二项式定理及展开式的通项公式解题ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 二项式定理 二项式定理 (ａ ＋ ｂ) ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (ｎ∈Ｎ∗) 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 Ｃｋｎ(ｋ∈{０ꎬ１ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ}) 二项展开式 的通项公式 Ｔｋ ＋ １ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 练一练: １. 思考辨析 (正确的画 “√”ꎬ错误的画 “ × ”) (１)(ａ ＋ ｂ) ｎ 展开式中共有 ｎ 项. ( 　 ) (２)在二项式定理公式中ꎬ交换 ａꎬｂ 的顺序 对各项没有影响. ( 　 ) (３)Ｃｋｎａｎ － ｋ ｂｋ 是( ａ ＋ ｂ) ｎ 展开式中的第 ｋ 项. ( 　 ) (４)(ａ － ｂ) ｎ 与(ａ ＋ ｂ) ｎ 的二项式展开式的 二项式系数相同. ( 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 019 ２. Ｃ０ｎ􀅰２ｎ ＋ Ｃ１ｎ􀅰２ｎ －１ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｋｎ􀅰２ｎ － ｋ ＋ 􀆺 ＋ Ｃｎｎ 等于 ( Ｃ ) Ａ. ２ｎ Ｂ. ２ｎ － １ Ｃ. ３ｎ Ｄ. １ 知识点 ２ 二项展开式的特点 　 　 (１)展开式共有 ｎ ＋ １ 项. (２) 各项的次数和都等于二项式的幂指 数 ｎ. (３)字母 ａ 的幂指数按降幂排列ꎬ从第一项 开始ꎬ次数由 ｎ 逐项减 １ 直到为 ０ꎬ字母 ｂ 的幂 指数按升幂排列ꎬ从第一项开始ꎬ次数由 ０ 逐项 加 １ 直到为 ｎ. 想一想:１. 二项式定理中ꎬ项的系数与二项 式系数相同吗? ２. 二项式(ａ ＋ ｂ) ｎ 与(ｂ ＋ ａ) ｎ 展开式的第 ｋ ＋ １ 项是否相同? 练一练: １. (１ － ｘ) １０展开式中 ｘ３ 项的系数为( Ｄ ) Ａ. － ７２０ 　 Ｂ. ７２０ Ｃ. １２０ Ｄ. － １２０ ２. (１ ＋ ２ｘ) ５ 的展开式的第 ３ 项的系数为 　 　 　 　 ꎬ第 ３ 项的二项式系数为 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 二项式定理 　 　 典例 １ (１)求 ２ ｘ ＋ １ ｘ æ è ç ö ø ÷ ４ 的展开式. (２)化简(ｘ － ２)５ ＋ ５(ｘ － ２)４ ＋ １０(ｘ － ２)３ ＋ １０(ｘ －２)２ ＋５(ｘ －２). [分析] 　 (１)直接利用二项式定理展开 即可ꎻ (２)对式子进行变形ꎬ逆用二项式定理. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�