17.1 勾股定理(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年八年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

17.1 勾股定理 ( 板块一：知识精讲 ) 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． ( 板块二：典题精练 ) 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　） A． B． C． D． 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以OA为边作长方形OABC，AB＝1，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　） A．1 B． C． D． 4．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 5．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 6．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 7．等腰三角形的腰长为5cm，底边上的中线长为4cm，它的面积是（　　） A．24cm2 B．20cm2 C．15cm2 D．12cm2 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　） A．13 B．169 C．119 D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．13 D．12 二．填空题（共6小题） 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝2，S2＝5，则BC＝　 　． 12．如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则△ABC的边AC上的高为 　 　． 13．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 14．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，当∠AEF＝∠B时，AE＝　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交网格线于点B（a，2），则a的值是 　 　． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣BC＝1，AC＝4，则BC＝　 　． 三．解答题（共9小题） 17． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 18．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°． （1）如图1，若AB＝1，，，求四边形ABCD的面积； （2）如图2，若BC＝CD，连接AC，AB＝3，AD＝5，