16.3 二次根式的加减(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年八年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

16.3 二次根式的加减 ( 板块一：知识精讲 ) 1．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 3．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． ( 板块二：典题精练 ) 一．选择题（共10小题） 1．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长和面积分别是（　　） A．，4 B．2，4 C．4，3 D．6，4 7．下列根式化简后不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．若，则a2﹣a+2020＝　 　． 12．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为　 　． 13．若与最简二次根式可以合并，则a＝　 　． 14．计算：　 　． 15．计算：　 　； 16．下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是 　 　．（填序号） 三．解答题（共6小题） 17．（1）计算：； （2）解方程组：． 18．材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，（1）（1）＝3﹣1＝2，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常