2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目15 种瓜得瓜，种豆得豆

项目15　种瓜得瓜，种豆得豆 探究1 运用运算法则和基本性质解决问题 1. 已知A为定点，点P是直线BC上一动点，连接AP. （1）如图1，取AP的中点Q，点P在直线BC上运动时，画出Q的运动轨迹. 思路： 如图解1，易证△AQQ′∽△APP′，且相似比为，所以点Q的运动轨迹是过点Q且平行于BC的一条直线. （2）如图2，若∠PAQ = 90°且AP = AQ，当点P在直线BC上运动时，画出Q的运动轨迹. 思路： 如图解2，易证△AQQ′≌△APP′，可得∠AP′P = ∠AQ′Q，又由∠P′AQ′ = 90°，易得QQ′⊥BC，所以点Q的运动轨迹是过点Q且与BC垂直的一条直线. （3）如图3，若∠PAQ = 60°且AP∶AQ = 1∶2，则当点P在直线BC上运动时，画出Q的运动轨迹. 思路： 如图解3，易证△AQQ′∽△APP′，且相似比为2，可得∠APP′ = ∠AQQ′，又有∠PAQ = 60°，易得QQ′与BC的夹角为60°，所以点Q的运动轨迹是过点Q且与BC的夹角是60°的一条直线. 解题通法 瓜豆原理是主从联动轨迹问题.主动点叫“瓜”，从动点为“豆”. 1.“瓜”在直线上运动，“豆”的运动轨迹也是直线. 2.“瓜”在圆上运动，“豆”的运动轨迹也是圆. 瓜豆原理必须要满足两个前提条件： ①主动点、从动点与某定点的连线夹角为定值； ②主动点、从动点到该定点的距离之比为定值. 确定了瓜豆原理后，利用相似（全等）解题，求最值. 2. （2023广州一模）如图，Rt△ABC中，AB = AC = 3，点O在AC上，且AO = 1，D为BC上任意一点，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为 　　⁠. 　 思路： 如图解，由题意可知，点D是主动点，点E是从动点，点D在线段上运动，点E也一定在线段上运动. 探究2 运用几何图形推导乘法公式 3. 已知P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP. （1）如图1，若Q 为AP的中点，当点P在⊙O上运动时，画出Q的运动轨迹. 思路： 如图解1，易证△AQM ∽ △APO，且相似比为，可得QM = PO，所以点Q的运动轨迹是以OA的中点M为圆心、OP长为半径的圆. （2）如图2，作 AQ⊥AP 且 AQ = AP，则当点 P 在⊙O 上运动时，画出Q的运动轨迹. 思路： 如图解2，易证△AQM ≌ △APO，可得MQ = OP，∠MAO = 90°，所以点Q的运动轨迹是以点M为圆心、OP长为半径的圆. （3）如图3，作 ∠PAQ = 120° 且AQ∶AP = 2∶1，则当点P在⊙O上运动时，画出Q的运动轨迹. 思路： 如图解3，易证△AQM ∽ △APO，且相似比为2，可得MQ = 2OP，∠MAO = 120°，所以点Q的运动轨迹是以点M为圆心、2OP长为半径的圆. 解题通法 运动轨迹是圆或圆弧的“瓜豆”问题主要找几个关键点，定点、主动点、从动点、主动点圆心、从动点圆心. 主动点的运动轨迹是圆（或圆弧），则从动点的运动轨迹也是圆（或圆弧）. 4. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AC = BC = 2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 　π　⁠. 思路： π　 如图解，取AB的中点O，AC的中点E，BC的中点F，连接OC，OP，OM，OE，OF，EF.由瓜豆原理可知点M的运动轨迹为以OC为直径的半圆，点M运动的路径长 = × 2π × = π. 探究3 算理的灵活运用及拓展 5. 如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，第一象限内有一点C且AC = BC，当点A运动时，点C始终在某一函数的图象上运动.若tan∠CAB = 2，则点C所在函数的解析式为 　y=　⁠. y = 　 思路： 如图解，分别作AM，CN垂直于x轴，垂足分别为M，N，连接OC，则∠AOC = 90°且AO∶OC = 1∶2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，易证△AMO ∽ △ONC，易得k = 4 × 2 = 8. 6. 如图，已知A（-1，1），B（-1，4），C（-5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右侧作等腰直角三角形OPQ.当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的运动轨迹形成的封闭图形的面积为 　3　⁠. 3　 思路： 易得点Q运动轨迹与点P轨迹形状相同，根据OP：OQ = ∶1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2，△ABC面积为6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3. 解题通法 所谓“瓜豆原理”，就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，