2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目12 解密“新定义”

项目12　解密“新定义” 探究1 运用运算法则和基本性质解决问题 1. （2023内江）对于正数x，规定，例如：，，，，计算： + + +···+ + + + + + ··· + + + = （　C　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 思路： C 分析得 + = 2，所以原式 = 100 × 2 + 1 = 201. 2. （2023重庆A）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4 129，∵41 - 12 = 29，∴4 129是“递减数”；又如：四位数5 324，∵53 - 32 = 21 ≠ 24，∴5 324不是“递减数”.若一个“递减数”为，则这个数为 4 312 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 　8165　⁠. 8 165　 由得10a + b - 10b - c = 10c + d①，②，将①代入②得. ∵能被9整除， ∴11a + 2b能被9整除. ∵各数位上的数字互不相等且均不为0，且要使递减数最大，则a最大为8，此时b = 1. ∴这个最大的递减数为8 165. 思路： 解题通法 “新定义”题型解读：“新定义”类试题是以数学知识、技能、方法、经验为基础的一种综合能力.要求学生能识别数学术语、符号、图表，灵活进行文字、符号、图表三种语言的转换，并从中提取有效信息、联想已有认知、形成方法结论、进行拓展应用. 这类试题情境背景新、设问方法新、解题思路新，但“新”≠“难”，关注的仍是数学的本质与核心. 3. （2023乐山）定义：若x，y满足x2 = 4y + t，y2 = 4x + t且x ≠ y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”. （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m =  　-7　⁠. 思路： 由x2 = 4y + t，y2 = 4x + t得x2 - 4y = y2 - 4x 化简得（x - y）（x + y + 4） = 0. 由x ≠ y得x + y + 4 = 0，即y = -x - 4，故m = -3 - 4 = -7. -7　 （2）若双曲线（-3 ＜ x ＜ -1）上存在“和谐点”，则k的取值范围为 　3＜k＜4　⁠. 思路： 由反比例函数（-3 ＜ x ＜ -1） 得k = x（-x - 4） = -（x + 2）2 + 4，且-3 ＜ x ＜ -1， 由二次函数性质得k的取值范围为3 ＜ k ＜ 4. 3 ＜k ＜4　 4. 阅读下面材料，解答提出的问题.　 德国著名数学家高斯（）在上小学时就已求出计算公式， 其推导方法如下： 设，① 则. ② 由① + ②得 所以，，即. （1）请利用上述公式计算：  　1275　⁠. 1 275　 （2）类比上述方法并证明：. 思路： 设S = 1 + 3 + 5 + … + （2n - 1），① 则S = （2n - 1） + （2n - 3） + （2n - 5） + … + 1.② 由① + ②得2S = = n × 2n = 2n2. 所以，S = = n2，即1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = n2. （3）若（其中n为正整数），直接写出n的值. 思路： n = 25. 解题通法 代数类“新定义”的常见分类和解题思路： 运算类——理解每一步的算法、算理及运算方向、明确变形规则. 概念类——抓定义中的关键词，紧扣定义进行识别、判断、建立关系. 方法类——读懂范例中的思路，模仿步骤、迁移方法，注意活学活用. 探究2 运用几何图形推导乘法公式 5. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若PA = PB，则点P为△ABC的准外心. （1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD = AB，求∠APB的度数. （1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD = AB，求∠APB的度数. 如图解1，由点P在等边三角形的高CD上，所以PA = PB满足题意，因为PD = AB，CD⊥AB，易得∠APB = 90°. 思路： （2）探究：已知△ABC为直角三角形，∠BAC = 90°，BC = 5，AB = 3，准外心P在AC边上，试探究PA的长. 思路： 如图解2，根据“准外心”的定义可分为三种情况：PA = PB，PA = PC，PB = PC，其中P1A = P1C，P2B = P2C满足题意，故PA = 2或. 解题通