2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目11 直尺与圆规的故事

项目11　直尺与圆规的故事 探究1 运用运算法则和基本性质解决问题 1. 已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ∥l. （1）下面是小东设计的“过直线外一点作直线l的平行线”的尺规作图过程. 作法：a.在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；b.在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；c.作直线PQ. ①根据小东设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图痕迹） ②根据小东设计的尺规作图过程，完成下面的证明. 证明：∵AB =  　AP　⁠，CB =  　CQ　⁠， ∴AC为△PBQ的 　中位线　⁠. ∴AC∥PQ，即PQ∥l.（ 　三角形中位线定理　⁠）（填推理的依据） AP　 CQ　 中位线　 三角形中位线定理　 （2）下面是同学们给出的不同作法，请写出每种作法判定平行的依据. 依据：① 　同位角相等，两直线平行　⁠； ② 　平行四边形的两组对边分别平行　⁠； ③ 　菱形的两组对边分别平行（或内错角相等，两直线平行）　⁠； ④ 　内错角相等，两直线平行　⁠. 同位角相等，两直线平行　 平行四边形的两组对边分别平行　 菱形的两组对边分别平行（或内错角相等，两直线平行）　 内错角相等，两直线平行　 解题通法 当题目给出尺规作图的步骤和作法时，要根据五种基本作图的方法，分析题目中作图语言和作图痕迹，判断作图依据. 探究2 运用几何图形推导乘法公式 2. （1）已知点P是⊙O上一点.请用尺规过点P作一条直线l，使直线l与⊙O相切，切点为P.（至少用两种方法，保留作图痕迹，不写作法） 作法1：如答图1，连接OP，过点P作OP⊥l，则l即为所求. 作法2：如答图2，连接OP，以点P为圆心，OP为半径作弧交⊙O于点A，在射线OA上取点B，使得AB = OA，作直线PB，则PB即为所求作的直线l. 思路： 作法3：如答图3，作直径AB，连接AP，BP，OP，作∠BPQ = ∠APO，则直线PQ即为所求作的直线l. 10 （2）已知点P是⊙O外一点.请用尺规过点P作⊙O的一条切线.（至少用两种方法，保留作图痕迹，不写作法） 思路： 作法1：如答图4，连接OP，作OP的垂直平分线，交PO于点A；以点A为圆心，AP长为半径作弧，交⊙O于点Q，作直线PQ，则PQ即为所求. 作法2：如答图5，作射线PO，交⊙O于点M，N.作等腰三角形APO，使AP = OP，OA = MN，AO交⊙O于点B，作直线PB，则PB即为所求. （2）已知点P是⊙O外一点.请用尺规过点P作⊙O的一条切线.（至少用两种方法，保留作图痕迹，不写作法） 作法3：如答图6，连接OP交⊙O于点A，过点A作OP的垂线，交以O为圆心，OP长为半径的弧于点B，连接OB交⊙O于点M，作直线PM，则PM即为所求. （2）已知点P是⊙O外一点.请用尺规过点P作⊙O的一条切线.（至少用两种方法，保留作图痕迹，不写作法） 解题通法 过一点P作⊙O的切线的本质是作垂线. 常用到的依据有：①线段的垂直平分线垂直且平分线段； ②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半； ④等腰三角形“三线合一”的性质； ⑤直径所对的圆周角等于90°. 探究3 算理的灵活运用及拓展 3. 已知四边形ABCD是矩形，按要求完成下列作图.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，在线段BC上求作点E，使得∠AEB = ∠AED. 思路： 如答图1，以点D为圆心，DA长为半径作弧，交BC于点E，连接AE，点E即为所求. （2）如图2，BD是矩形ABCD的对角线.求作⊙A，使得⊙A与BD相切. 思路： 如答图2，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BD于点M，作BM的垂直平分线，交BD于点N，以A为圆心，AN为半径作圆，⊙A即为所求. （3）如图3，点E为矩形ABCD边BC上一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F.在CD上求作点G，使△ABE ∽ △FDG. 思路： 如答图3，作∠DFG = ∠BAE，与CD交于点G，点G即为所求. 解题通法 ①先根据条件画出草图； ②通过推理得出需要尺规作的图. 常见的有： 作线段等于已知线段； 过直线外一点作已知直线的垂线； 作角等于已知角； 作线段的垂直平分线等. 返回目录 迁移进阶 * 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，D是斜边AC上一点，在射线BD上作一点E，使∠BEC = ∠A.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：作法1：如答图1所示，点E即为所求. 作法2：如答图2所示，点E即为