2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目4 反比例函数的“拓展性质”

项目４　反比例函数的“拓展性质” 探究1 运用运算法则和基本性质解决问题 1. 已知点A，B是第一象限的反比例函数y =（k ＞ 0）图象上的任意两点（不重合），连接AB. （1）如图1，连接OA，OB.过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，AC，OB交于点E.求证：S△AOB = S梯形ABDC . 思路： （1）如图解1，易得S△AOC = S△BOD ，所以S△AOC - S△EOC = S△BOD - S△EOC，即 S△AOE = S梯形BDCE；由S△AOE + S△ABE = S梯形BDCE + S△ABE ，故S△AOB = S梯形ABDC . （2）如图2，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，直线AE与BD相交于点G.求证：. 思路： （2）如图解2，由S矩形AEOC = S矩形BFOD = ，得到AE·EO = BD·DO，故；易得DO = GE ，EO = GD，可证. 解题通法 1. 题1（1）的结论可形象地称为反比例函数的“等积性质”.由题1（1）可以类推：当A，B在反比例函数图象的同一支上时，无论k取何值，按照题1（1）的题干要求作图，结论S△AOB = S梯形ABDC仍然成立. 2. 题1（2）的结论可形象地称为反比例函数的“等比性质”.由题1（2）可以类推：当A，B在反比例函数图象的同一支上时，无论k取何值，按照题1（2）的题干要求作图，结论仍然成立.还可以推出的结论有：，. 探究2 运用几何图形推导乘法公式 2. 已知点A，B是反比例函数（k ≠ 0）第一象限图象上的任意两点（不重合）. （1）如图1，过点A作AA′⊥y轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，连接A′B′.求证：AB∥A′B′. 思路： （1）如图解1，由“等比性质”易得.由∠C = ∠C，所以△CAB ∽ △CA′B′，得到∠CAB = ∠CA′B′.故AB∥A′B′. （2）如图2，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥y轴于点B′，AA′与BB′交于点C，连接AB，A′B′.求证：AB∥A′B′. 思路： （2）如图解2，设点A，B，易得；由∠A′CB′ = ∠ACB，所以△A′CB′∽△ACB，得到∠CAB = ∠CA'B'.故AB∥A'B'. （3）如图3，若直线AB与x轴交于点M，与y轴交于点N，猜想AN与BM之间的数量关系并说明理由. 思路： （3）如图解3，结合（2）可证四边形ANB′A′，BMA′B′为平行四边形，可得AN = A′B′= BM. 解题通法 题2的结论可形象地称为反比例函数的“平行性质”. 题2和如图中结论AB∥A′B′都成立，所标记线段都相等. 探究3 算理的灵活运用及拓展 3. 如图，A，B是反比例函数在第一象限内图象上的两点，且点A，B的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是 　3　⁠. 思路： 如图解，由“等积性质”，将S△OAB转化为S梯形ACDB求解. 3　 4. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数（k ＞ 0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为6，则k的值为 　8　⁠. 思路： 8　 易得S△AOD = S△COE = ，由“等比性质”可知，D是AB的中点，则E是BC的中点；S△BDE∶S△AOD∶S△COE∶S矩形AOCB = 1∶2∶2∶8，故S△BDE∶S△ODE = 1∶3，易得k = 8. 5. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.直线PA，PB与x轴分别交于点M，N.求证：△PMN是等腰三角形. 思路： 如图解，由“平行性质”易得PM = EC，PN = ED；易证△AOC ≌ △BOD，所以OC = OD ，易得EC = ED；可得PM = PN. 返回目录 迁移进阶 * 1. 如图，点A，C为函数（x ＜ 0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点，当△AOC的面积为6时，则k =  　-8　⁠. -8 2. 如图，点A，B在反比例函数（x ＞ 0）的图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥AD，交DA的延长线于点C.连接AO，BO，若四边形AOBC的面积为6，且3BC = 2OD，则k =  　3　⁠. 3 3. 如图，A，B是反比例函数图象上两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接AB，CD，AC = BD = OC，S四边形ABDC = 9，则k =  　10　⁠. 10 4. 如图1，已知点A，B是