内容正文：
项目３ 活用韦达定理
探究1
运用运算法则和基本性质解决问题
1. 设x1，x2是方程2x2 - 9x + 6 = 0的两个根，求下列各式的值.
（1）.
解：由x1，x2是方程2x2 - 9x + 6 = 0 的两个根，得x1 + x2 = ，
x1x2 = 3.
（1） = = = .
（2）x12 + x22.
解：（2） = （x1 + x2）2 - 2x1x2 = - 2 × 3 = .
（3）（x1 - 3）（x2 - 3）.
解：（3）（x1 - 3）（x2 - 3）
= x1x2 - 3（x1 + x2） + 9
= 3 - 3 × + 9 = .
（4）x1 - x2.
解：（4）x1 - x2 = = = .
2. 已知a，b是方程x2 - x - 1 = 0的两根，求代数式2a2 + 3b2 + （a + 6）（b + 7） - 30的值.
由a，b是方程x2 - x - 1 = 0的两根，得a2 - a - 1 = 0，b2 - b - 1 = 0，a + b = 1，ab = -1.所以a2 = a + 1，b2 = b + 1.
所以原式 = 2（a + 1） + 3（b + 1） + ab + 7a + 6b + 42 - 30
= 9a + 9b + ab + 17 = 9（a + b） + ab + 17
= 9 - 1 + 17 = 25.
解：
3. 已知mn ≠ 1，且5m2 + 2 010m + 9 = 0，9n2 + 2 010n + 5 = 0，求的值.
解：将9n2 + 2 010n + 5 = 0两边同除以n2，
得5 × + 2 010 × + 9 = 0，
结合5m2 + 2 010m + 9 = 0可得m和是关于x的方程5x2 + 2 010x + 9 = 0的两个实数根，所以m · = ，即 = .
利用韦达定理求代数式的值常用到以下变形：
解题通法
①x12 + x22 = （x1 + x2）2 - 2x1x2；
②（x1 - x2）2 = （x1 + x2）2 - 4x1x2；
③
④x1 x22 + x12x2 = x1x2（x1 + x2）；
⑤
⑥x13 + x23 = （x1 + x2）3 - 3x1x2（x1 + x2）.
探究2
运用几何图形推导乘法公式
4. 已知关于x的一元二次方程x2 - x + 2m - 4 = 0有两个实数根x1，x2.
（1）若x1x2 ＜ 2，求m的取值范围.
解：根据题意得Δ = （-1）2 - 4 × 1 × （2m - 4） ≥ 0，x1 + x2 = 1， x1x2 = 2m - 4.
解得m ≤ .
（1）因为x1x2 ＜ 2，所以2m - 4 ＜ 2，解得m ＜ 3.所以m ≤ .
（2）若方程的两根满足（x1 - 3）（x2 - 3） = m2 - 1，求m的值.
解：（2）因为（x1 - 3）（x2 - 3） = m2 - 1，
所以x1x2 - 3（x1 + x2） + 9 = m2 - 1，即2m - 4 - 3 + 9 = m2 - 1.
解得m = 3或-1.所以m = -1.
（3）若方程的两个根一个大于2、另一个小于2，求m的取值范围.
解：（3）由方程的两个根一个大于2、另一个小于2
可得（x1 - 2）（x2 - 2） ＜ 0，
则x1x2 - 2（x1 + x2） + 4 ＜ 0，
即2m - 4 - 2 + 4 ＜ 0，
解得m ＜ 1.所以m ＜ 1.
解题通法
利用韦达定理解决一元二次方程根的问题时，先表示x1x2，x1 + x2，再整体代入求解.特别注意，使用韦达定理时，需要保证一元二次方程有实数根，即Δ ≥ 0.
探究3
算理的灵活运用及拓展
5. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2 - 2（n - 1）x + n2 - 2n = 0的两个根，第三边BC的长为10.
（1）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长.
解：（1）由Δ = [-2（n - 1）]2 - 4（n2 - 2n） = 4 ＞ 0，
得方程有两个不相等的实数根.
若△ABC为等腰三角形，则x = 10是方程的一个根.
可得102 - 2（n - 1） × 10 + n2 - 2n = 0.解得n = 10或n = 12.
当n = 10时，方程为x2 - 18x + 80 = 0，所以AB + AC = 18，
则△ABC的周长 = AB + AC + BC = 18 + 10 = 28.
当n = 12时，方程为x2 - 22x + 120 = 0，所以AB