2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目6 细品含参二次函数

项目６　细品含参二次函数 探究1 运用运算法则和基本性质解决问题 1. 写出以下二次函数图象经过的定点坐标，其中m为常数. （1）y = x2 - 2mx + 4. 思路： 当x = 0时，y = 4，∴定点的坐标为（0，4）. （2）y = x2 + mx - 2m. y = x2 + mx - 2m整理得y = x2 + m（x - 2）， 令x - 2 = 0，得x = 2.易得定点的坐标为（2，4）. （3）y = mx2 - 4mx - 5m. y = mx2 - 4mx - 5m整理得y = m（x2 - 4x - 5）， 令x2 - 4x - 5 = 0，得x1 = 5，x2 = -1. 易得定点的坐标为（5，0），（-1，0）. （4）y = x2 - 2（m + 1） x + 4. 思路略，定点坐标为（0，4）. （5）y = mx2 - 2（m + 1） x + 4. 思路略，定点坐标为（0，4），（2，0）. 2. 已知抛物线y = x2 - （6 + m2）x + 8 + 2m2，求证：不论m取何值，该抛物线与x轴的正半轴都有两个交点，且其中一个交点是定点. 思路： 由x2 -（6 + m2）x + 8 + 2m2 = 0 化简得（x - 2）[ x -（4 + m2）] = 0， ∴不论m取何值，该抛物线与x轴的正半轴都有两个交点（2，0），（4 + m2，0），且（2，0）是定点. 3. 二次函数y = x2 + c的图象与一次函数y = 2x的图象有且仅有一个交点. （1）实数c的值为 　1　⁠. 如图解1，由b2 - 4ac = 0，得c = 1. 1　 思路： （2）二次函数y = x2 + c的图象与一次函数y = 2x（-1 ≤ x ≤ 2）的图象有且仅有一个交点.则实数c的取值范围是 　 c=1或-3≤c＜0　⁠. 思路： 由题可知一次函数y = 2x（-1 ≤ x ≤ 2）的图象是条线段，所以除3（1）的情况外，如图解2，3得，当-3 ≤ c ＜ 0时二次函数图象与一次函数图象有且只有一个交点. c = 1或-3 ≤ c ＜ 0 解题通法 1.求含参二次函数定点坐标的方法 （1）使m失去影响力：将含参数m的项合并并提取公因式m，令另一个含x的因式值为0，此时x的值就是函数定点的横坐标. （2）特殊值法：既然无论参数m取何值，抛物线都经过一个定点，不妨给参数m取两个不同的值，得到两条不同的抛物线，两条抛物线的交点就是这个定点. （3）变换主元法：将参数m当成未知数，转化为“m = …”的形式，令m = 0，此时x的值就是函数定点的横坐标. 4. 已知关于x的二次函数y = -（x - b）2 + 4b + 1，点A，B是二次函数图象上的点. （1）若点A（1，y1）和点B（3，y2），请比较y1和y2的大小. 思路： 由题可知a ＜ 0，抛物线的对称轴为直线x = b.AB中点的横坐标是x = 2.如图解1，当b ＜ 2时，y1 ＞ y2；当b = 2时，y1 = y2；如图解2，当b ＞ 2时，y1 ＜ y2. （2）该二次函数的顶点M的坐标为 　（b，4b+1）　⁠，点M的轨迹是一条直线，对应的表达式是  　 y=4x+1　⁠. （b，4b + 1）　 y = 4x + 1　 （3）若二次函数的顶点M在一次函数y = -x + 4的图象与x轴，y轴围成的△COD内，已知A，B，试比较y1和y2的大小. 思路： 如图解3，点M在直线yEF = 4x + 1上，易得，E，F（0，1），由点M在△COD中可得0 ＜ b ＜ .AB中点的横坐标为，根据图象得，当0 ＜ b ＜ 时，y1 ＞ y2；当b = 时，y1 = y2；当 ＜ b ＜ 时，y1 ＜ y2. 解题通法 2.判断“动”抛物线和线段的交点个数的方法 （1）代数法：①联立二次函数和线段所在直线的表达式，根据根的判别式Δ = b2 - 4ac求参数；②将线段端点坐标代入二次函数求得参数，并判断参数的取值范围. （2）图象法：运用画草图的方法判断，我们常常会用到数形结合和分类讨论的数学思想. 二次函数的图象是抛物线，因此判断函数的增减性时要结合二次函数的对称轴来分析判断. 解题通法 3.含参函数值比较大小的方法 （1）几何法：先寻找临界状态（对称轴、端点等），然后判断二次函数图象开口方向结合与对称轴的距离比较大小. （2）代数法：代入求值，作差分类判断. 探究2 运用几何图形推导乘法公式 5. 已知关于x的函数（a ≠ 0）. （1）若a = 1，函数的图象经过点（-1，4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值. 思路： 由待定系数法得y = x2 - 2