2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目5 用老方法研究“新函数”

项目5 用老方法研究“新函数” 探究1 运用运算法则和基本性质解决问题 1. 数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣,根据学习函数的经验,对函数y = 的图象和性质进行探究,已知该函数的图象经过(-1,3),(5,1)两点.请解决以下问题: (1)填空:a = -3 ,b = -3 . -3 (2)将表中的空格补充完整,并在平面直角坐标系中描出表格中各点,并画出该函数的图象. x … -3 -2 -1 5 … y … 1 1 3 1 … 思路: (2)函数图象如答图: 1 (3)观察函数图象,下列关于函数性质的描述正确的有 ② . ①当x ≤ -1时,y随x的增大而减小. ②当x = -1时,此时函数有最大值,最大值为3. ③当1 < y < 3时,自变量x的取值范围为-3 < x < 5. ④当直线y = m与此函数有两个交点时,0 ≤ m< 3. 思路: (3)由图可知,当x ≤ -1时,y随x的增大而增大,故①错误;当 x = -1时,此时函数有最大值,最大值为3,故②正确;当1 < y < 3时,自变量x的取值范围为-3 < x < 5且x ≠ -1,故③错误;当直线 y = m与此函数有两个交点时,0 < m < 3,故④错误. ② 解题通法 研究函数的一般路径是“概念(解析式) 图象 性质 应用”.要重点研究: 1.图象的变化趋势(增减性); 2.对称性(关于x轴、y轴对称或关于原点中心对称); 3.特殊点(最高点、最低点、与坐标轴的交点); 4.与方程、不等式结合:可利用数形结合求方程的解和不等式的解集. 探究2 运用几何图形推导乘法公式 2. 【建模】某班开端午联欢会,生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元,又购买了单价为2元的粽形香囊x个,设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格是y元. (1)y与x的关系式为 . 【探究】根据函数的概念,彤彤发现:y是x的函数.结合自己学习函数的经验,为了更好地研究这个函数,彤彤打算先脱离实际背景,对该函数的图象与性质展开探究.请根据所给信息,将彤彤的探究过程补充完整. (2)列表: x … -4 -3 -1 0 … y … 3 4 0 1 … 3 0 1 (3)在如下的平面直角坐标系中描点、连线,画出该函数的大致图象: 思路: (3)如答图即为该函数图象. (4)观察图象,彤彤发现以下性质: ①该函数图象是中心对称图形,对称中心是 (-2,2) . ②该函数值y不可能等于 2 . ③当x > -2时,y随x的增大而 增大 (填“增大”或“减小”),当x < -2时,亦是如此. 思路: (4)①由答图可得,对称中心是(-2,2). (-2,2) 2 增大 ②函数图象与直线y = 2无限接近但不相交,故该函数值y不可能等于2. ③由图可得,当x > -2时,函数图象从左往右上升,即y随x的增大而增大. 【应用】(5)根据上述探究,结合实际经验,彤彤得到结论:粽形香囊越多,所购买物品的平均价格越 高 (填“高”或“低”),但不会高于 2 元. 思路: (5)由图可得,当x ≥ 0时,函数图象从左往右上升,与直线y = 2无限接近,即y随x的增大而增大,函数值y与2无限接近,故粽形香囊越多,所购买物品的平均价格越高,但不会高于2元. 高 2 解题通法 对于实际问题,我们首先要抽象出函数模型,然后将研究函数问题的一般“方法”迁移到“新函数”的研究上,研究其图象和性质,最后将所得到的性质应用到实际问题中,从而解决问题. 探究3 算理的灵活运用及拓展 3. 如图,在Rt ABC中,∠BAC = 90 ,AB = 6,AC = 8,点D是BC的中点,动点M从点B出发,沿着折线B D A(含端点A)运动,速度为每秒1个单位长度,到达A点停止运动,点E,F分别是射线AB,AC上的动点,AE的长度等于点M运动的路程,S AEF = 6,设点M的运动时间为t,点M到AB的距离MH为y1,AF的长度为y2. (1)求y1,y2关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. 思路: (1)易得BC = 10,可得BD = AD = 5. 当0 < t ≤ 5时,易证 BMH ∽ BCA, 所以,即.故. 当5 < t ≤ 10时,如图解,过D作DG⊥AB于点G, 易得DG = 4.易证 AHM ∽ AGD, 所以,即.故. (1)求y1,y2关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. 所以 易得AE = t,S AEF = 6,AF = y2,所以t y2 = 6, 故 . (2)在直角坐标系中画出y1,y2的图象,并写出函数y1的一条性质. 思路: (2)画图如答图.根据图象,可知 当t = 5时,y1有最大值为4(答案不唯一). 解题通法 用函数的方法研究几何图形中变