（精讲）第6章 第23讲 与圆有关的位置关系-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第六章　圆 第23讲　与圆有关的位置关系 命题点1　切线的性质与判定 证明一条直线是圆的切线时，有两种方法： （1）定义法. （2）利用判定定理：①当已知条件中给出圆与直线有公共点时，只要证明圆心与公共点的连线与这条直线垂直即可，即“连半径，证垂直”； ②在已知条件中未给出直线与圆有公共点时，那么就自圆心向这条直线作垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可，即“作垂直，证半径”. 【例1】（2023·天门中考）如图所示，等腰三角形ABC内接于☉O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交☉O于点F，连接AE，FC. （1）求证：AE为☉O的切线. （2）若☉O的半径为5，BC＝6，求FC的长. 【思路分析】（1）证明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于点H.得出AH为BC的垂直平分线，则OA⊥AE，又点A在☉O上，即可得证. （2）过点D作DM⊥BC于点M，连接OB，由垂径定理得出BH＝HC＝BC＝3，由勾股定理得OH＝4，进而可得AH，由勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，由勾股定理求得BD，证明△FCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求解. 【自主解答】 解：（1）证明：∵AB∥CE， ∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD. 又∵AD＝CD，∴△ABD≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE， ∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE∥BC. 作AH⊥BC于点H，如图所示. ∵AB＝AC，∴AH为BC的垂直平分线，∴点O在AH上， ∴AH⊥AE，即OA⊥AE.又点A在☉O上，∴AE为☉O的切线. （2）过点D作DM⊥BC于点M，连接OB，如图所示. ∵AH为BC的垂直平分线， ∴BH＝HC＝BC＝3， ∴OH＝＝＝4， ∴AH＝OA＋OH＝5＋4＝9， ∴AB＝AC＝＝＝3， ∴CD＝AC＝. ∵AH⊥BC，DM⊥BC， ∴DM∥AH，∴△CMD∽△CHA. 又AD＝CD，∴＝＝＝， ∴MH＝HC＝，DM＝AH＝， ∴BM＝BH＋MH＝3＋＝， ∴BD＝＝＝. ∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB， ∴△FCD∽△ABD， ∴＝，∴＝，∴FC＝5. 【变式训练1】（2023·福建中考）如图所示，已知△ABC内接于☉O，CO的延长线交AB于点D，交☉O于点E，交☉O的切线AF于点F，且AF∥BC. （1）求证：AO∥BE. 证明：（1）∵AF是☉O的切线， ∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°. ∵CE是☉O的直径，∴∠CBE＝90°， ∴∠OAF＝∠CBE. ∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC， ∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC， 即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE. （2）求证：AO平分∠BAC. 证明：（2）∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角， ∴∠ABE＝∠ACE. ∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC， ∴∠ABE＝∠OAC， 由（1）知，∠OAB＝∠ABE， ∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC. 命题点2　三角形的外接圆与内切圆 解决外接圆与内切圆问题的常用方法： （1）利用外心或内心的性质构造直角三角形. （2）等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角. 【例2】推理能力　如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3. （1）求CE的长. （2）求证：△ABC为等腰三角形. （3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离. 【思路分析】（1）证明AD为△BCE的中位线. （2）通过证明AC＝AE得到AB＝AC. （3）先画出△ABC的外接圆☉P和内切圆☉Q，连接BP，BQ，CQ，DP，利用勾股定理计算出AB的值.设☉P的半径为R，☉Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理求得R与PD的值，再利用面积法求出r，即QD的值，然后计算PD＋QD即可. 【自主解答】 解：（1）∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD.∵CE∥AD， ∴AD为△BCE的中位线.∴CE＝2AD＝6. （2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE. ∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E.∴AE＝AC.∵AB＝AE， ∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形. （3）如图所示，作△ABC的外接圆☉P，内切圆☉Q，连接BP，BQ，CQ，DP.由题意，可知AD⊥BC，∴A，D，P三点共线. 在Rt△ABD中，BD＝＝4，AD＝3，∴AB＝＝5. 设☉P的半径为R，☉Q的半径为r. 在Rt△PBD中，DP2＋