（精讲）第6章 第22讲 圆的基本性质-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第六章　圆 第22讲　圆的基本性质 命题点1　垂径定理 利用垂径定理进行证明或计算，通常是以半径、弦心距和弦长的一半构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段的长，而弓形的高可以用半径±弦心距来求.如图①②所示，设圆的半径为r，弦长为a，弦心距为d，弓形的高为h，则＋d2＝r2，h＝r－d 或h＝r＋d. 【例1】（2023·上海中考）如图所示，在☉O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB. （1）求☉O的半径. （2）求∠BAC的正切值. 【思路分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，构造直角三角形.根据垂径定理可得AD＝BD＝4，然后在Rt△OBD中，利用锐角三角函数的定义即可求出OB的长. （2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据已知可得BC＝OB，再利用平行线分线段成比例可得＝，从而求出BE的长，进而求出AE的长.在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义即可求出∠BAC的正切值. 【自主解答】 解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示. ∵AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4. 在Rt△OBD中，cos∠ABC＝， ∴OB＝＝＝5，∴☉O的半径为5. （2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图所示. ∵OC＝OB，OB＝5，∴BC＝OB＝7.5. ∵OD⊥AB，∴OD∥CE，∴＝，∴＝， ∴BE＝6，∴AE＝AB－BE＝8－6＝2. 在Rt△BCE中， CE＝＝＝4.5. 在Rt△ACE中，tan∠BAC＝＝＝， ∴∠BAC的正切值为. 【变式训练1】新情境　赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图所示，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　B　） A.20 m B.28 m B C.35 m D.40 m 命题点2　圆心角与圆周角 解决与圆有关的角度计算问题时，一般先判断角是圆心角还是圆周角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.特别地，当圆中有直径时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆中构造直角三角形来解决问题. 【例2】（2023·武汉中考）如图所示，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB＝2∠BAC. （1）求证：∠AOB＝2∠BOC. （2）若AB＝4，BC＝，求☉O的半径. 【思路分析】（1）利用圆周角定理可得∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论. （2）过点O作半径OD⊥AB，交☉O于点D，交AB于点E，连接BD，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，可求得BE＝2，DB＝，利用勾股定理可求得DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径. 【自主解答】 解：（1）证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC. （2）如图所示，过点O作半径OD⊥AB于点E， 连接BD，∴AE＝BE. ∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB， ∴∠DOB＝∠BOC.∴BD＝BC. ∵AB＝4，BC＝，∴BE＝2，DB＝. 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴DE＝＝1. 在Rt△BOE中，∠OEB＝90°， OB2＝（OB－1）2＋22，解得OB＝， 即☉O的半径是. 【变式训练2】（2023·深圳中考）如图所示，在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线与☉O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝ 　35　⁠°. 35　 考点1　垂径定理及推论 1.（2023·东营中考，16，3分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”转化为现在的数学语言表达就是如图所示，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 　26　⁠寸. 26　 2.（2023·威海中考，23，12分）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，☉A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD. （1）如图①所示，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由. 解：（1）四边形OBAD是菱形，理由如下：如图①所示，作AS⊥DE于点S，作AT⊥BC于点T，∵OP平分∠MON， ∴AS＝AT，∠AOD＝∠AOB.在Rt△ASD与Rt△ATB中， ∴Rt△ASD≌Rt△ATB（HL），∴SD＝TB. 在Rt△ASO与Rt△ATO中， ∴Rt△ASO≌Rt△ATO（HL），∴SO＝TO， ∴SO－SD＝TO－TB，即OD