（精讲）第5章 第21讲 矩形、菱形、正方形的性质-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第五章　四边形（新课标理念，单元整合设计） 第21讲　矩形、菱形、正方形的性质 命题点1　菱形的性质 菱形的四条边都相等，对角线垂直且互相平分，常把菱形问题转化为直角三角形或等腰三角形问题.菱形面积有多种求法：一是用对角线乘积的一半求解，二是用底乘高求解，三是用四个全等的直角三角形的面积和求解. 【例1】（2023·嘉兴、舟山中考）如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. （1）求证：AE＝AF. （2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数. 【思路分析】（1）欲证明AE＝AF，只需要证得△ABE≌△ADF即可. （2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质推出△AEF是等边三角形，则可求出答案. 【自主解答】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D.又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.在△ABE与△ADF中， ​ ∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF. （2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°. ∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°， ∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.由（1）知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.∴△AEF是等边三角形.∴∠AEF＝60°. 【变式训练1】（2023·河北中考）如图所示，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上.若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　C　） A.42° B.43° C.44° D.45° C 命题点2　矩形的性质 ⁠ ⁠矩形的对角线相等且互相平分，可借助对角线的关系得到等腰三角形和全等三角形，矩形的四个角都是直角，可灵活使用勾股定理和三角函数求线段的长. 【例2】（2023·温州中考）如图所示，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE＝GH. （1）求证：BE＝CF. （2）当＝，AD＝4时，求EF的长. 【思路分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GE＝GF，再根据等边对等角得出∠E＝∠GFE，根据矩形的性质得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可证△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，从而问题得证. （2）先证△ECD∽△EFH，得出比例式，再结合已知即可求出EF的长. 【自主解答】 解：（1）证明：∵FH⊥EF，∴∠HFE＝90°. ∵GE＝GH，∴FG＝EH＝GE＝GH， ∴∠E＝∠GFE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴△ABF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE， ∴BF－BC＝CE－BC，即BE＝CF. （2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4. ∵FH⊥EF，∴CD∥FH， ∴△ECD∽△EFH， ∴＝，∴＝.∵＝， ∴＝. 设BE＝CF＝x，∴EC＝x＋4，EF＝2x＋4， ∴＝，解得x＝1，∴EF＝6. 【变式训练2】（2023·河南中考）在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　2或1＋　⁠. 2或1＋　 命题点3　正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的全部性质，正方形被两条对角线分成8个等腰直角三角形，常用等腰三角形或直角三角形的性质及勾股定理解决问题. 【例3】（2023·天津中考）如图所示，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝. （1）△ADE的面积为 　3　⁠. （2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　　⁠. 3　 　 【思路分析】（1）过点E作EM⊥AD于点M，根据等腰三角形的性质得到AM＝DM＝AD＝，根据勾股定理得到EM＝＝2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为AD·EM＝×3×2＝3.（2）延长EM分别交AG于点N，BC于点P，根据正方形的性质得到EP⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM＝AB＝3，AB∥EP，根据全等三角形的性质得到EN＝AB＝3，根据三角形的中位线性质得出GD＝2MN＝2，根据勾股定理即可得到结论. 【自主解答】 【变式训练3】（2023·重庆中考）如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等