（精讲）第5章 第20讲 矩形、菱形、正方形的判定-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第五章　四边形（新课标理念，单元整合设计） 第20讲　矩形、菱形、正方形的判定 命题点1　矩形的判定 判定矩形的方法是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形. 【例1】（2023·北京中考）如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF. （1）求证：四边形AECF是矩形. （2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长. 【思路分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论. （2）先由矩形的性质得∠AEC＝∠AEB＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE＝，然后由锐角三角函数定义得EC＝2AE＝2，即可解决问题. 【自主解答】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形. （2）∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°. ∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB＝. ∵tan∠ACB＝＝，∴EC＝2AE＝2，∴BC＝BE＋EC＝＋2＝3. 【变式训练1】（2023·乐山中考）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF. （1）求证：四边形ECFD是矩形. 解：（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE， ∴四边形ECFD为平行四边形. 又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形. （2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离. 解：（2）如图所示，过点C作CH⊥EF于点H， 在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4， ∴EF＝＝＝2. ∵S△ECF＝×CF·CE＝×EF·CH， ∴CH＝＝，∴点C到EF的距离为. 命题点2　菱形的判定 菱形的判定一般先判定为平行四边形，然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析，也可直接判定四条边相等. 【例2】（2023·张家界中考）如图所示，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. （1）求证：AE∥BF. （2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形. 【思路分析】（1）由“SSS”证明△AEC≌△BFD（SSS），得到∠A＝∠B，即可证明AE∥BF. （2）由△AEC≌△BFD，得到∠ECA＝∠FDB，推出EC∥DF，又EC＝DF，得到四边形DECF是平行四边形，由DF＝FC，即可推出四边形DECF是菱形. 【自主解答】 证明：（1）∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD. ∵AE＝BF，CE＝DF， ∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B， ∴AE∥BF. （2）∵△AEC≌△BFD（SSS）， ∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF. ∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形. ∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形. 【变式训练2】（2023·永州中考）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5. （1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由. 解：（1）△AOB是直角三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴OB＝OD＝BD＝4. ∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°. （2）求证：四边形ABCD是菱形. 解：（2）证明：由（1）可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 命题点3　正方形的判定 正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体.在判定正方形的过程中，通常是先证明此四边形为矩形，再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直；或先证明其为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等. 【例3】（2023·十堰中考）如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP. （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由. （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时， 四边形BPCO是正方形？ 【思路分析】（1）由平行四边形的性质得出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，证出OB＝CP，BP＝OC，则可得出结论. （2）由正方形的判定可得出结论. 【自主解答】 解：（1）四边形BPCO为平行四边形. 理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD. ∵分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝