（精讲）第4章 第18讲 等腰三角形与直角三角形-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第四章　三角形 第18讲　等腰三角形与直角三角形 命题点1　等腰（边）三角形的性质与判定 等腰三角形有两个性质：（1）“等边对等角”，利用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大小；（2）“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相等、角相等、线段垂直，计算线段长度、角的大小等. 【例1】（2022·温州中考）如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. （1）求证：∠EBD＝∠EDB. （2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 【思路分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论. （2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE.由（1），得∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可. 【自主解答】 解：（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB. （2）CD＝ED.理由如下： ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE，∴CD＝BE.由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED. 【变式训练1】（2023·江西中考）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为 　2　⁠cm. 2　 命题点2　直角三角形的性质与判定 在直角三角形中求边的长度时，勾股定理是最常用的方法之一.若已知两边求一边，直接利用勾股定理即可；若已知一边求其他两边，需指明三边之间存在的另一个数量关系，然后利用勾股定理求值或构建方程求解.证明一个三角形为直角三角形，可以证明一个内角等于90°，也可以利用勾股定理的逆定理进行证明. 【例2】（2023·辽宁中考）如图所示，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　　⁠. 　 【思路分析】连接CF，证明△ACF为直角三角形，根据勾股定理列出AF2＝CF2＋AC2，设BC＝x，则AC＝8－x，建立关于x的二次函数关系式，求出x＝2时，AF最小，再求出顶角是120°的△BCD的面积即可. 【自主解答】 【变式训练2】 （2023·荆州中考）如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC＝8，CD＝5，则DE＝ 　3　⁠. 3　 考点1　等腰三角形的性质与判定 1.（2022·淄博中考，5，5分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　B　） A.23° B.25° C.27° D.30° B 2.（2022·泰安中考，5，4分）如图所示，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°.则∠2的度数是（　A　） A.70° B.65° C.60° D.55° A 3.（2023·烟台中考，23，11分）如图所示，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE. （1）如图①所示，求证：DE＝BF. 解：（1）证明：∵△ACD，△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE. ∵∠A＝∠CBE，∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB， ∴AD∥CE，∴∠ADC＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠CEB. ∵EF＝AD，CE＝BE，∴CD＝EF， ∴△DCE≌△FEB（SAS），∴DE＝BF. （2）如图②所示，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长. 解：（2）∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，∠A＝∠ECB， ∴∠DCA＝∠CBE，∴DC∥BE. 作GH∥CD，交CE于点H，如图所示，则GH∥BE. ∵DG＝EG，∴CH＝EH. ∵AD＝2，AD＝CD，∴CD＝2，∴GH＝CD＝1. 设CE＝BE＝m，则EH＝m.∵EF＝AD＝2， ∴FH＝m－2.∵GH∥BE，∴△GHF∽△BEF， ∴＝，即＝， 解得m＝2＋2或m＝2－2（舍去）， ∴BE的长为2＋2. 考点2　直角三角形的性质与判定 4.（2021·日照中考，15，4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P