（精讲）第3章 第13讲 函数与方程、不等式的关系-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第三章　函数及其图象（新课标理念，单元整合设计） 第13讲　函数与方程、不等式的关系 命题点1　利用函数图象确定不等式的解集 利用图象求值、取值范围或判断大小时，要能从纵、横两个方向分析图象的位置、数量关系，其中上、下对应函数值的大、小，左、右对应自变量的小、大. 【例1】（2023·金华中考）如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，3），B（m，－2），则不等式ax＋b＞的解是（　A　） A A.－3＜x＜0或x＞2 B.x＜－3或0＜x＜2 C.－2＜x＜0或x＞2 D.－3＜x＜0或x＞3 【思路分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再通过图象直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集. 【自主解答】 【变式训练1】（2022·南通中考）如图所示，根据图象，可得关于x的不等式kx＞－x＋3的解集是（　D　） A.x＜2 B.x＞2 D C.x＜1 D.x＞1 【变式训练2】（2023·娄底模拟）如图所示，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为（　C　） A.x＞1 B.x＜3 C C.－1＜x＜3 D.x＜－3或x＞1 命题点2　二次函数与一元二次方程 　　解此类题的关键是数形有机结合，灵活转换.当y＝m（m为常数）时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就成为一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.方程若有解，其解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m交点的横坐标.同样地，不等式ax2＋bx＋c＞m或ax2＋bx＋c＜m的解集为抛物线在直线y＝m上方或下方部分点的横坐标的取值范围. 【例2】（2023·衡阳中考）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）.则下列结论正确的是（　B　） A.x3＜x1＜x2＜x4 B.x1＜x3＜x4＜x2 C.x1＜x2＜x3＜x4 D.x3＜x4＜x1＜x2 【思路分析】画出抛物线y＝x2＋2x－3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案. 【自主解答】 B 【变式训练3】（2023·郴州中考）已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 　9　⁠. 9　 命题点3　二次函数综合题 　　图形的周长和面积最值问题是中考中经常考查的.此类题含有两个变化的未知量，可以设其中一个为自变量，再利用图形中存在的等量关系用这个自变量表示出另一个变化的未知量，从而利用周长或图形面积公式等列出二次函数解析式，进而利用二次函数的性质求出最值.注意这里的等量关系可以是：周长或面积公式，由相似得到的比例式，勾股定理，锐角三角函数等. 【例3】（2023·张家界中考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）.点D为线段BC上的一动点. （1）求二次函数的解析式. （2）如图①所示，求△AOD周长的最小值. （3）如图②所示，连接AC，过动点D作DP∥AC在第一象限内交抛物线于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值. 【思路分析】（1）由题意可知，设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－6），再将（0，6）代入求出a的值即可. （2）根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时｜DO｜＋｜DA｜最小，即△AOD的周长为最小值. （3）先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD∥AC，设出直线PD的解析式，再根据二次函数的解析式设点P的坐标，将P点坐标代入直线PD的解析式得出a的值，然后解方程组求出点D的坐标，再根据S＝S△PBD＋S△PAD＝S△PAB－S△DAB得出S关于m的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可. 【自主解答】 解：（1）由题意可知，设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－6）， 将（0，6）代入上式，得6＝a（0＋2）（0－6），解得a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－（x＋2）（x－6）＝－x2＋2x＋6. （2）如图所示，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE，交BC于点D，连接EC，EB. ∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6.∵O，E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E（6，6）.由对称性｜DE｜＝｜DO｜， 此时｜DO｜＋｜DA｜有最小值，为线段AE的长，AE＝＝＝10.∵△AO