（精讲）第2章 第7讲 一元二次方程及应用-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第二章　方程（组）与不等式（组） 第7讲　一元二次方程及应用 命题点1　一元二次方程的解法 　　一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.这四种解法各有自己的特点，如果观察不出它们的特点，找不出最恰当的解法，就会使解题过程太繁琐以致出错.解决这一问题的关键是：首先理解并记住各种解法适合的类型，其次理解并记住各种解法的选取顺序.具体如下： （1）若方程符合a（x－n）2＝m（ma≥0，a≠0）的形式，用直接开平方法解方程比较简单；对于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）而言，当b＝0时，用直接开平方法求解较好. 　　（2）一般方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当c＝0时，用因式分解法比较简单. （3）一般方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当a，b，c不缺项且不易分解因式时，一般采用公式法. （4）配方法也是一种重要的解题方法，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用该法比较简单. （5）对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，再化为一般形式求解. 【例1】（2023·杭州钱塘区三模）圆圆与方方两位同学解方程3（x－3）＝（x－3）2的过程如框： 圆圆： 两边同除以（x－3），得 3＝x－3. 则x＝6. 方方： 移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0. 提取公因式，得（x－3）·（3－x－3）＝0. 则x－3＝0或3－x－3＝0. 解得x1＝3，x2＝0. 你认为他们的解法是否正确？若错误，请写出你认为正确的解答过程. 【思路分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，然后求出方程的解即可. 【自主解答】 解：圆圆和方方的解法错误. 正确的解法：3（x－3）＝（x－3）2， 移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0. （x－3）[3－（x－3）]＝0， 则x－3＝0或3－（x－3）＝0， 解得x1＝3，x2＝6. 【变式训练1】运算能力　方程x2＋4x＋3＝0的两个根为（　D　） A.x1＝1，x2＝3 B.x1＝－1，x2＝3 C.x1＝1，x2＝－3 D.x1＝－1，x2＝－3 D 命题点2　一元二次方程根与系数的关系与根的判别式 　　（1）利用根的判别式解题，通常将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），计算出b2－4ac的值，然后根据根的情况建立方程或不等式求解. （2）利用根与系数的关系解题，常见的变形有＋＝，＋＝（x1＋x2）2－2x1x2，｜x1－x2｜＝等. 　　易错警示：解题时不能忽视“b2－4ac≥0”这一隐含条件. 【例2】（2023·湖北中考）已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝0. （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根. （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a＋b）·（a＋2b）＝20，求m的值. 【思路分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2－4ac＞0即可； （2）利用根与系数的关系得a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m，再将（2a＋b）（a＋2b）＝20变形可得2（a＋b）2＋ab＝20，将a＋b，ab的值代入可得关于m的一元二次方程，求解即可. 【自主解答】 解：（1）证明：∵Δ＝[－（2m＋1）]2－4（m2＋m）＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根. （2）∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a＋b＝－＝2m＋1，ab＝＝m2＋m. ∵（2a＋b）（a＋2b）＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2（a2＋2ab＋b2）＋ab＝2（a＋b）2＋ab， ∴2（a＋b）2＋ab＝20，∴2（2m＋1）2＋m2＋m＝20，整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，∴m的值为－2或1. 【变式训练2】（2023·河南中考）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是（　A　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【变式训练3】（2023·岳阳中考）已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＋x1·x2＝2，则实数m＝ 　3　⁠. A 3　 命题点3　一元二次方程的实际应用 　　列一元二次方程解应用题的常见问题： （1）平均变化率问题：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b. （2）利润问题：利润＝售价－进价； 　　利润率＝×100％. （3）矩形面积问题： ①镶边矩形：如图所示，镶边矩形ABCD中空白区域的面积S＝（a－2x）（b－2x）；