（精讲）第2章 第6讲 分式方程及应用-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第二章　方程（组）与不等式（组） 第6讲　分式方程及应用 命题点1　解分式方程 　　1.解分式方程的基本思路： 　　分式方程⁠ ⁠整式方程. 　　2.解分式方程的一般步骤： 　　第一步：用方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边，去掉方程中各分式的分母，得到一个整式方程； 　　第二步：解这个整式方程，求出这个整式方程的根； 　　第三步：将整式方程的根代入最简公分母（或原方程）进行检验，并作出结论. 易错警示：①解分式方程一定要验根；②解分式方程一定不要漏乘项或出现符号错误. 【例1】（2023·连云港中考）解方程：＝－3. 【思路引领】 【自主解答】 解：去分母，得2x－5＝3x－3－3（x－2）. 去括号，得2x－5＝3x－3－3x＋6. 移项，得2x－3x＋3x＝5－3＋6. 合并同类项，得2x＝8. 把x的系数化为1，得x＝4. 检验：当x＝4时，x－2＝4－2＝2≠0， 故原分式方程的解为x＝4. 【变式训练1】（2023·大连中考）将方程＋3＝去分母，两边同乘（x－1）后的式子为（　B　） A.1＋3＝3x（1－x） B.1＋3（x－1）＝－3x C.x－1＋3＝－3x D.1＋3（x－1）＝3x B 【变式训练2】（2023·嘉兴中考）小丁和小迪分别解方程－＝1过程如下： 小丁： 解：去分母，得 x－（x－3）＝x－2. 去括号，得 x－x＋3＝x－2. 合并同类项，得 3＝x－2. 解得x＝5. ∴原方程的解是x＝5. 小迪： 解：去分母，得 x＋（x－3）＝1. 去括号，得 x＋x－3＝1. 合并同类项，得 2x－3＝1. 解得x＝2. 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程. 解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下： －＝1， 两边同乘（x－2），去分母，得x＋x－3＝x－2. 移项，合并同类项，得x＝1. 检验：当x＝1时，（x－2）＝1－2＝－1≠0， 故原分式方程的解是x＝1. 命题点2　由分式方程的解的情况求参数的值或范围 　　1.已知分式方程解的取值范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的取值范围，从而确定字母的取值范围.但要特别注意使分式方程产生增根的条件，及满足题意中解的情况的条件，各个方面都需要考虑全面. 2.增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 【例2】（2023·眉山中考）关于x的方程－3＝的解为非负数，则m的取值范围是 　m≥－5且m≠－3　⁠. 【思路分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可确定字母m的取值范围. 【自主解答】 m≥－5且m≠－3　 【变式训练3】已知关于x的分式方程－＝1. （1）若分式方程有增根，求a的值. 解：（1）－＝1，两边都乘x（x－2），得 x（x－a）－5（x－2）＝x（x－2），整理，得（a＋3）x＝10. 由分式方程有增根，则x（x－2）＝0，∴x＝0或x＝2， 把x＝0代入（a＋3）x＝10，a的值不存在；把x＝2代入（a＋3）x＝10，得2（a＋3）＝10，解得a＝2， 综上可知，a＝2. （2）若分式方程无解，求a的值. 解：（2）由（1）可知，（a＋3）x＝10，当a＋3＝0时，方程无解，即a＝－3；当a＋3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（1）知a＝2.综上可知，a＝－3或a＝2. 命题点3　分式方程的应用 列分式方程解应用题要做到认真审题，理解题意，会找等量关系，能够根据列方程的需要直接或间接设未知数，能够根据基本数量关系列代数式表示出各个未知量，从而列出分式方程.另外，求得分式方程的解后必须要验根，验根时要从两方面考虑：一是所求得的根是否是原方程的解；二是所求得的根是否符合实际意义. 【例3】（2023·广东中考）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度. 【思路分析】设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h，分别表示出甲、乙骑行的时间，根据甲比乙少用10 min列方程求解即可. 【自主解答】 解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h. 根据题意，得－＝， 解得x＝12. 经检验，x＝12是原分式方程的解且符合题意. 答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h. 【变式训练4