（精练）小专题十八 手拉手模型-【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习课件(潍坊专用)

数 学 第七章　图形的变化 小专题十八　手拉手模型 1.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC'沿C'B'方向平移至EB'，连接BE.若CC'＝，则BE的长为（　B　） A.1 B. C. D.2 B 2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABC＝45°，BC＝4，CD＝1.若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF，BF，CF，则AF的长是 　　⁠. 　 3.如图所示，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E. （1）求证：AD·BC＝AB·DE. 解：（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，∴∠DAE＝∠CAB. ∵∠E＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴AD∶AB＝DE∶BC， ∴AD·BC＝AB·DE. （2）若S△ADE∶S△ABC＝4∶9，BC＝6，求DE的长. 解：（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝＝， ∴＝，∴DE＝4.∴DE的长是4. 4.探究拓展 如图所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE. （1）如图①所示，求证：△ABD∽△ACE. 解：（1）证明：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE， ∴＝，∴＝. ∵∠DAE＝∠BAC，即∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ABD∽△ACE. （2）如图②所示，延长DB，EC交于点G，O是AE的中点，连接GO，求证：OG＝OE. 解：（2）证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，即∠ADG＝∠AEG，∴A，D，E，G四点共圆.∵∠ADE＝90°，∴AE是以A，D，E，G四点共圆的直径.∵O为AE的中点， ∴点O是以A，D，E，G四点共圆的圆心， ∴OG＝OE. （3）如图③所示，若AD＝2AB＝4，∠BAC＝60°，△ADE绕点A旋转，当点B，C，E共线时，求BD的长. 解：（3）当点E在BC的延长线上时，如图①所示，连接BD.∵AD＝2AB＝4，∠BAC＝60°，∴AB＝2，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠ACB＝∠AED＝30°，∴AC＝2AB＝4，AE＝2AD＝8.在Rt△ABC中，BC＝＝＝2.在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，∴CE＝BE－BC＝2－2.∵△ABD∽△ACE，∴＝，即＝，BD＝－； 当点E在CB的延长线上时，如图②所示，连接BD，同理可得AB＝2，AC＝4，BC＝2，BE＝2，∴CE＝BE＋BC＝2＋2.∵△ABD∽△ACE，∴＝，即＝，∴BD＝＋.综上，BD的长为－或＋. 5.（1）【问题呈现】如图①所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.请判断BD与CE的数量关系. 解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠DAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC＝60°， ∴∠DAB＝∠EAC.在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE. （2）【类比探究】如图②所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连接BD，CE.请写出BD与CE的数量关系. 解：（2）结论：BD＝CE或CE＝BD.理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴＝＝＝，∵∠DAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC＝45°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴＝＝，∴BD＝CE或CE＝BD. （3）【拓展提升】如图③所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连接BD，CE. ①求的值； 解：（3）①∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC.设AB＝3x，BC＝4x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝5x，同理，在Rt△ADE中，设AD＝3a，DE＝4a，则AE＝5a，∴∠DAB＝∠EAC，＝＝，＝＝，即＝＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝. ②由①得△DAB∽△EAC，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BGF＝∠AGC，∴△BGF∽△CGA，∴∠BFG＝∠GAC，∴sin∠BFC＝sin∠BAC.在Rt△ABC中，∴sin∠BAC＝＝＝，∴sin∠BFC＝. ②延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值. 6.推理能力 如图所示，△ABC是等边三角形，将线段BC绕点B旋转α（0°＜α＜180°），得到线段BD，连接CD，∠ABD的平分线交直线CD于点E，连接AE. （1）如图①所示，当0°＜α＜60°时，试猜想线段AE，BE，CD三条线段之间的数量