第三章圆锥曲线的方程知识点及常见题型归纳讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线 椭圆：把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这_两个定点_叫做椭圆的焦点,_两焦点间的距离__叫做椭圆的焦距. 椭圆的标准方程 焦点在x轴上标准方程=1(a>b>0)焦点 (-c,0),(c,0) 焦点在y轴上标准方程(a>b>0)焦点 (0,-c),(0,c) 特征：（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2. 2a与2c的关系 |MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在 1.已知 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为________. 2.若方程=1表示椭圆,求实数k的取值范围. 3.椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为___. 4.若椭圆C:的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F2PF1= 椭圆的几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 轴长 短轴长=2b___,长轴长=2a___ 焦距 |F1F2|=2c___ 对称性 对称轴为_坐标轴___,对称中心为原点____ 离心率 e= （0<e<1) a,b,c的关系 a2-b2=c2 注意：过椭圆焦点垂直于长轴的直线被椭圆所截的线段叫做椭圆的通径,通径长为 1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为( ) A B C D 2.平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是() A.[1,5] B.[1,6] C.[2,5] D.[2,6] 3.过椭圆1的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则|AB|=( ) A. 0.5 　　　　　B. 0.25 　　　　　C.1　　　　　D.2 4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2 ,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是________.  5.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1 (a>b>0)的离心率为直线y=x被椭圆C截得的线段长为|PQ|=则椭圆的短轴长为 (　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 6.（多选）对于曲线 C： ，下面四个说法正确的是 A. 曲线 C不可能是椭圆 B.“ 1<k<4 ”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线C是焦点在y 轴上的椭圆”是“ 3<k<4 ”的必要不充分条件 D.“曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆”是“ 1<k<2.5 ”的充要条件 确定焦点位置 ①焦点位置确定时：在x轴上=1 在y轴上 =1 ②焦点位置不确定时：设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B) 1.已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3,则椭圆的方程为________________.  2.椭圆经过点M(6,4),且它的一个焦点为(0,4),则它的标准方程为(　　) A.　B. C. =1 D.+=1 椭圆焦点三角形问题 焦点三角形：椭圆上的一点与椭圆上的两个焦点构成的三角形。 PF1+PF2=2a F1F1=2c PF12+PF22 =（PF1+PF2)2 -2PF1 PF2 注：解决焦点三角形问题通常要与椭圆定义和正余弦定理结合求解 1.椭圆 + =1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上，若|PF1|=4,求∠F1PF2的大小 2.已知椭圆 ,点P是椭圆上一点，F1,F2是椭圆焦点，且∠PF1F2=1200，求三角形PF1F2的面积 3.椭圆的焦点为F1,F2,AB是椭圆过焦点F1的弦,则△ABF2的周长是() A.20　　　　B.12　　　　C.10　　　　D.6 求与椭圆有关的轨迹方程 （1）定义法：求解时,若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程. （2）代入法（相关点法）：找到轨迹上的动点P（x，y）与已知曲线上的动点Q（x1，y1）的关系，用点P坐标把点Q坐标表示出来，然后