6.3.1平面向量基本定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.3 平面向量基本定理 及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量及其应用 一 二 三 学习目标 掌握平面向量基本定理 理解向量基底的概念 能利用平面向量基本定理解决相关的问题 学习目标 新课导入 我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 类似地，我们能否将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢? 新知探究 问题1 如图 (1)所示，设 是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量. 如图 (2)，在平面内任取一点O，作 . 将 按 的方向分解，你有什么发现？ 图(1) 图(2) 根据向量的平行四边形法则 OM与OA共线 OM = λ1OA = λ1e1 同理 ON= λ2OB = λ2 e2 ∴a = λ1e1 + λ2 e2 向量的分解 新知探究 新知探究 追问1 若向量 与 或 共线， 还能用 表示吗？ 追问2 当 是零向量时， 还可以表示成 的形式吗？ 新知探究 追问3 改变 的位置如下图三种情况时，怎样构造平行四边形？ O C 结论1：平面上任意一个向量 都可以表示为： 新知探究 追问4 如果给定的两向量 共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 不能，此时 与共线，当向量 与它们不共线时，则无法表示. 结论2 只有不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. 新知探究 假设 ， 则 即 所以 所以 所以 唯一 追问5 现在我们知道，平面内任何一个向量 ，都可以用两个不共线的向量表示为 .在这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？ 结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使 成立. 概念生成 综合以上3个结论，我们可以得到如下定理 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ， 有且只有 仅有一对实数，使. 存在性 唯一性 若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 新知探究 追问6 若基底选取不同，则表示同一向量的实数是否相同？ B A O M O M A B 可以相同,也可以不同 关于平面向量基本定理的几点说明： 定理说明 (1)基底的选择是不唯一的；(关键是不共线) (2)同一向量在选定基底后，是唯一存在的 (3)同一向量在选择不同基底时，可能相同也可能不同 (4) 零向量不可以作为基底 (5) 同一平面内的任一向量都可以由同一个基底唯一表示 (6) 是基底, 若 则有 (7) 典例解析 解： O B A P O B A P 例1 如图示， 不共线，且 ，用 表示 . 结论 例2 如图示，CD是△ABC的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形. 证明： 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一. 典例解析 巩固练习 课本P27 C B A D E F 巩固练习 课本P27 2. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， 点E, F分别是OA, OC的中点，G是CD的三等分点