第7章 复数(考案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

▲ ３８５ ▲ ▲ ３８６ ▲ 考 案 (二) 第七章　 复　 数 考试时间 １２０ 分钟ꎬ满分 １５０ 分. 一、单项选择题(本大题共 ８小题ꎬ每小题 ５分ꎬ共 ４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的) １. 下列命题正确的是 ( Ｄ ) Ａ. 复数的模是正实数 Ｂ. 虚轴上的点与纯虚数一一对应 Ｃ. 实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数 Ｄ. 相等的向量对应着相等的复数 ２. (２０２３􀅰新高考Ⅰ卷)已知 ｚ ＝ １ － ｉ２ ＋ ２ｉꎬ则 ｚ － ｚ ＝ ( Ａ ) Ａ. － ｉ Ｂ. ｉ Ｃ. ０ Ｄ. １ ３. (２０２２􀅰全国甲卷)若 ｚ ＝ １ ＋ ｉꎬ则 ｜ ｉｚ ＋ ３ ｚ ｜ ＝ ( Ｄ ) Ａ. ４ ５ Ｂ. ４ ２ Ｃ. ２ ５ Ｄ. ２ ２ ４. 若复数 ｚ 满足 ２ｚ ＋ ｚ􀅰ｚ ＝ (２ － ｉ) ２(ｉ 为虚数单位)ꎬ则 ｚ ＝ ( Ａ ) Ａ. － １ － ２ｉ Ｂ. － １ － ｉ Ｃ. － １ ＋ ２ｉ Ｄ. １ － ２ｉ ５. 已知复数 ｚ ＝ １ ＋ ａｉ(ａ∈Ｒ)(ｉ 是虚数单位)ꎬ ｚｚ ＝ － ３ ５ ＋ ４ ５ ｉꎬ则 ａ ＝ ( Ｂ ) Ａ. ２ Ｂ. － ２ Ｃ. ± ２ Ｄ. － １２ ６. 定义运算 ａ　 ｂ ｃ　 ｄ ＝ ａｄ － ｂｃ 则符合条件 ｚ　 １ ＋ ｉ － ｉ　 ２ｉ ＝ ０ 的复数 ｚ 的共轭复数ｚ在复平面内对应的点在 ( Ｂ ) Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 ７. 在复平面内ꎬ设向量ＯＺ１ →ꎬＯＺ２ → 分别对应非零复数 ｚ１ꎬｚ２ꎬ若ＯＺ１ →⊥ＯＺ２ → 则 ｚ２ ｚ１ 是 ( Ｂ ) Ａ. 非负数 Ｂ. 纯虚数 Ｃ. 正实数 Ｄ. 不确定 ８. 设 ｆ(ｎ) ＝ １ ＋ ｉ１ － ｉ æ è ç ö ø ÷ ｎ ＋ １ － ｉ１ ＋ ｉ æ è ç ö ø ÷ ｎ (ｎ∈Ｎ∗)则集合{ ｆ(ｎ)}中元素的个数为 ( Ｃ ) Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. 无数 二、多项选择题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ共 ２０ 分.在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项是符合题目要 求的ꎬ全部选对的得 ５ 分ꎬ选对但不全的得 ２ 分ꎬ有选错的得 ０ 分) ９. 若 θ∈ ３π２ ꎬ２π æ è ç ö ø ÷ꎬ则复数 ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ 在复平面内对应的点不可能在 ( Ａ ) Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 １０. 已知 ｉ 是虚数单位ꎬ与复数 １ ＋ ｉ１ － ｉ æ è ç ö ø ÷ ２ 相同的选项为 ( Ｂ ) Ａ. － ｉ Ｂ. － １ Ｃ. １ Ｄ. ｉ２ １１. 设 ｚ１ꎬｚ２ꎬｚ３ 为复数ꎬｚ１≠０ꎬ下列命题中正确的是 ( Ｂ ) Ａ. 若 ｜ ｚ２ ｜ ＝ ｜ ｚ３ ｜ ꎬ则 ｚ２ ＝ ± ｚ３ Ｂ. 若 ｚ１ ｚ２ ＝ ｚ１ ｚ３ꎬ则 ｚ２ ＝ ｚ３ Ｃ. 若ｚ２ ＝ ｚ３ꎬ则 ｜ ｚ１ ｚ２ ｜ ＝ ｜ ｚ１ ｚ３ ｜ Ｄ. 若 ｚ１ ｚ２ ＝ ｜ ｚ１ ｜ ２ꎬ则 ｚ１ ＝ ｚ２ １２. 欧拉在 １７４８ 年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来:ｅｉ θ ＝ ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ(把 ｚ ＝ ｒ(ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ) 称为复数的三角形式ꎬ其中从 Ｏｘ 轴的正半轴到向量ＯＺ→的角 θ 叫做复数 ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ(ａꎬｂ∈Ｒ)的辐角ꎬ把向量ＯＺ→ 的长度 ｒ 叫做复数的模)ꎬ之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:若复数 ｚ１ ＝ ｒ１ｅｉθ１ ＝ ｒ１(ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１)ꎬｚ２ ＝ ｒ２ｅｉθ２ ＝ ｒ２(ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２)ꎬ则我们可以简化复数乘法:ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２ｅｉ(θ１ ＋ θ２) ＝ ｒ１ ｒ２[ｃｏｓ(θ１ ＋ θ２) ＋ ｉｓｉｎ(θ１ ＋ θ２)] . 根据以上信息ꎬ下列说法正确的是 ( Ａ ) Ａ. 若 ｚ ＝ ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θꎬ则有 ｅπ ｉ ＋ １ ＝ ０ Ｂ. 若 ｒ ＝ １ꎬθ ＝ π３ ꎬ则 ｚ ３ ＝ １ Ｃ. 若 ｚ ＝ ｒ(ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ)ꎬ则 ｚｎ ＝ ｒｎ(ｃｏｓ ｎθ ＋ ｉｓｉｎ ｎθ) Ｄ. 设 ｚ ＝ １ ＋ ｉ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ０２１ ꎬ则 ｚ 在复平面上对应的点在第一象限 三、填空题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ共 ２０ 分) １３. 复数１ － ｉ ２ ０２２ １ ＋ ｉ 的共轭复数为　 　 　 　 . １４. 若复数 ｚ ＝ １ ＋ ２ｉꎬ其中 ｉ 是虚数单位ꎬ则 ｚ ＋ １ｚ æ è ç ö ø ÷􀅰ｚ ＝ 　 　 　 　 . １５. 若复数