8.6.1 直线与直线垂直(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[３０] 第八章　 立体几何初步 ８. ６　 [８. ６. １　 直线与直线垂直] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 １. 若空间三条直线 ａꎬｂꎬｃ 满足 ａ⊥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则直线 ａ 与 ｃ ( Ｂ ) Ａ. 一定平行 Ｂ. 一定垂直 Ｃ. 一定是异面直线 Ｄ. 一定相交 ２. 如 图 正 方 体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ异面直线 Ａ１Ｂ 与 ＡＤ１ 所成角为 ( Ｃ ) Ａ. ３０° Ｂ. ４５° Ｃ. ６０° Ｄ. ９０° ３. (２０２１ 􀅰 全 国 乙 卷 ) 在 正 方 体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＰ 为 Ｂ１Ｄ１ 的中点ꎬ则直线 ＰＢ 与 ＡＤ１ 所成的角为 ( Ｄ ) Ａ. π２ Ｂ. π ３ Ｃ. π ４ Ｄ. π ６ ４. 如图ꎬ在直三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬＤ 为 Ａ１Ｂ１ 的中点ꎬＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２ꎬＢＢ１ ＝ １ꎬＡＣ ＝ ２ ２ꎬ则异 面直线 ＢＤ 与 ＡＣ 所成的角为 ( Ｃ ) Ａ. ３０° Ｂ. ４５° Ｃ. ６０° Ｄ. ９０° ５. 如图所示ꎬ空间四边形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ ＝ ８ꎬＢＤ ＝ ６ꎬＭ、Ｎ 分别为 ＡＢ、ＣＤ 的中点ꎬ并且异 面直线 ＡＣ 与 ＢＤ 所成的角为 ９０°ꎬ则 ＭＮ 等于 ( Ａ ) Ａ. ５ Ｂ. ６ Ｃ. ８ Ｄ. １０ 二、填空题 ６. 如图ꎬ在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ (１)ＡＣ 和 ＤＤ１ 所成的角是　 　 　 　 ꎻ (２)ＡＣ 和 Ｄ１Ｃ１ 所成的角是　 　 　 　 ꎻ (３)ＡＣ 和 Ｂ１Ｄ１ 所成的角是　 　 　 　 ꎻ (４)ＡＣ 和 Ａ１Ｂ 所成的角是　 　 　 　 . ７. 在正三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬＤ 是 ＡＢ 的中 点ꎬ则在所有的棱中与直线 ＣＤ 和 ＡＡ１ 都垂直 的直线有　 　 　 　 . ８. 在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ点 Ｐ 在线段 ＡＤ１ 上运动ꎬ则异面直线 ＣＰ 与 ＢＡ１ 所成的角 θ 的取值范围是　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 已知正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＥꎬＦ 分别为 棱 ＢＣ 和棱 ＣＣ１ 的中点ꎬ求异面直线 ＡＣ 和 ＥＦ 所成的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —１４２— １０. 如图所示ꎬ四面体 Ａ － ＢＣＤ 中ꎬ ＥꎬＦ 分别是 ＡＢꎬＣＤ 的中点. 若 ＢＤꎬＡＣ 所成的角为 ６０°ꎬ且 ＢＤ ＝ ＡＣ ＝ ２. 求 ＥＦ 的长度. Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. (２０２２􀅰哈尔滨高一检测)如图ꎬ 点Ｍ是正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱 ＣＤ 的中点ꎬ则异面直线 ＡＭ 与 ＢＣ１ 所成角的余弦值 是 ( Ａ ) Ａ. １０５ Ｂ. ２ ５ ５ Ｃ. ５ ５ Ｄ. １０ １０ ２. 将正方体沿交于一顶点的三 条棱的中点截去一个三棱 锥ꎬ共可截去八个三棱锥ꎬ得 到八个面为正三角形ꎬ六个 面为正方形的“阿基米德多 面体”ꎬ则异面直线 ＡＢ 与 ＣＤ 所成角的大小 是 ( Ｃ ) Ａ. ３０° Ｂ. ４５° Ｃ. ６０° Ｄ. １２０° ３. 在正三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬ若 ＡＢ ＝ ２ＢＢ１ꎬ 则 ＡＢ１ 与 ＢＣ１ 所成的角的大小是 ( Ｃ ) Ａ. ６０° Ｂ. ７５° Ｃ. ９０° Ｄ. １０５° 二、填空题 ４. 如图ꎬ在三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬＡＡ１ ⊥ＡＢꎬ ＡＡ１⊥ＡＣ. 若 ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ＡＡ１ ＝ １ꎬＢＣ ＝ ２ꎬ则异 面直线 Ａ１Ｃ 与 Ｂ１Ｃ１ 所成的角为　 　 　 　 . ５. 如图所示ꎬ在正方体 ＡＢＣＤ － ＥＦＧＨ 中ꎬＯ 为侧面 ＡＤＨＥ 的中心ꎬ则: (１)ＢＥ 与 ＣＧ 所成的角的大小为　 　 　 　 ꎻ (２)ＦＯ 与 ＢＤ 所成的角的大小为　 　 　 　 . 三、解答题 ６. 如图所示ꎬ在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中. (１)求 Ａ１Ｃ１ 与 Ｂ１Ｃ 所成角的大小ꎻ (２)若 ＥꎬＦ 分别为 ＡＢꎬＡＤ 的中点ꎬ求 Ａ１Ｃ１ 与 ＥＦ 所成角的大小. Ｃ 组􀅰探索创新 　 在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１