第8章 立体几何初步 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测·固双基 1. 如图所示,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M,N 分别是 AB,PC 的中点,PA = AD = a. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥平面 PCD. 2. (2021·全国Ⅰ卷)如图,在三棱锥 A - BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,AB = AD,O 为 BD 的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD 是边长为 1 的等边三角形,点 E 在棱 AD 上,DE = 2EA,且二面角 E - BC - D 的大小为 45°,求三棱锥 A - BCD 的体积. 3. 矩形 ABCD 中,AB = 12,AD = 6,E、F 分别为 CD,AB 边上的点,且 DE = 3,BF = 4,将△BCE 沿 BE 折起至△PBE 位置(如图所示),连接 AP、PF,其中 PF = 2 5. (1)求证:平面 PAB⊥平面 ABED; (2)在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ∥平 面 PBE? 若存在,求出点 Q 的位置,若不存 在,请说明理由. 请同学们认真完成练案[35] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末知识梳理 知识体系构建 131 核心知识归纳 　 　 一、空间几何体的结构特征 1.多面体及其结构特征 (1)棱柱:①有两个平面(底面)互相平行; ②其余各面都是平行四边形;③每相邻两个平 行四边形的公共边互相平行. (2)棱锥:①有一个面(底面)是多边形; ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三 角形. (3)棱台:①上、下底面互相平行,且是相似 图形; ②各侧棱延长线相交于一点. 2.旋转体及其结构特征 (1)圆柱:①圆柱的轴垂直于底面;②圆柱 的轴截面是矩形;③圆柱的所有母线相互平行 且相等,且都与圆柱的轴平行;④圆柱的母线垂 直于底面. (2)圆锥:①圆锥的轴垂直于底面;②圆锥 的轴截面为等腰三角形;③圆锥的顶点与底面 圆周上任一点的连线都是圆锥的母线,圆锥的 母线有无数条;④圆锥的底面是一个圆面. (3)圆台:①圆台的上、下底面是两个半径 不等的圆面;②圆台两底面圆所在平面互相平 行且和轴垂直;③圆台有无数条母线;④圆台的 母线延长线交于一点. 二、空间几何体的直观图 1.斜二测画法中“斜”和“二测” “斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x 轴 垂直的线段, 在直观图中均 与 x′ 轴 成 45° 或 135°; “二测”是指两种度量形式,即在直观图中, 平行于 x′轴或 z′轴的线段长度不变;平行于 y′ 轴的线段长度变为原来的一半. 2.斜二测画法中的建系原则 在已知图中建立直角坐标系,理论上在任 何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建 立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图 形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点 或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等. 三、空间几何体的表面积和体积 1.多面体的表面积 各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积 圆柱:S = 2πr2 + 2πrl = 2πr( r + l) . 圆锥:S = πr2 + πrl = πr( r + l) . 圆台:S = π( r′2 + r2 + r′l + rl) . 球:S = 4πR2 . 3.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体的体积公式: V柱体 = Sh(S 底面面积,h 为高) . (2)锥体的体积公式 V锥体 = 1 3 Sh(S 底面面 积,h 为高) . (3)台体的体积公式 V台体 = 1 3 (S + SS′ + S′)h(S′,S 分别为上、 下底面面积,h 为高) . (4)球的体积公式 V = 43 πR 3 . 四、空间点、线、面之间的位置关系 1.平面的基本性质 四个基本事实及其作用 基本事实 1:过不在一条直线上的三个点, 有且只有一个平面. 作用:①可用来确定一个平面;②证明点线 共面. 基本事实 2:如果一条直线上的两个点在一 个平面内,那么这条直线在此平面内. 作用:可用来证明点、直线在平面内. 基本事实 3:如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. 作用:①可用来确定两个平面的交线;②判 断或证明多点共线;③判断或证明多线共点. 基本事实 4:平行于同一条直线的两条直线 平行. 作用:判断空间两条直线平行的依据. 2.空间中两直线的位置关系 空间中两直线的位置关系 共面直线 平行 相交{ 异面直线:不