10.2 事件的相互独立性(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

A. P(A) + P(B) < 1 B. P(A) + P(B) > 1 C. P(A) + P(B) = 1 D. P(A) + P(B)≤1 4. 如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同 心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率 分别为 0. 35,0. 3,0. 25,则未命中靶的概率是 　 　 　 　 . 5. 某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概 率如下表所示: 月收入 [1 000, 1 500) [1 500, 2 000) [2 000, 2 500) [2 500, 3 000) 概率 0. 12 a b 0. 14 已知月收入在 [1 000,3 000) 内的概率为 0. 67,则月收入在[1 500,3 000)内的概率为 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[44] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. 2　 事件的相互独立性 素养目标·定方向 课标要求 结合有限样本空间,了解两个事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率. 素养要求 结合具体实例了解事件独立性的含义及利用独立性计算概率,发展数学抽象及数学运算素 养. 必备知识·探新知 知识点 1 相互独立事件的定义 　 　 对任意两个事件 A 与 B,如果 P ( AB) = 　 P(A)P(B)成立,则称事件 A 与事件 B 相互 独立,简称为独立. 知识点 2 相互独立事件的性质 　 　 当事件 A,B 相互独立时,则事件 　 A 与事 件　 􀭵B 相互独立,事件　 􀭵A与事件　 B 相互独立, 事件　 􀭵A与事件　 􀭵B相互独立. 想一想: 两个事件独立与互斥的区别是什么? 知识点 3 判定相互独立事件的方法 (1)由定义,若 P(AB) = P(A)·P(B),则 A,B 独立. (2)有些事件不必通过概率的计算就能 判定其独立性,如有放回的两次抽奖,由事件 本身的性质就能直接判定出是否相互影响, 从而得出它们是否相互独立. 　 　 [拓展] 　 1. 公式的推广 如果事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概 率的积,即 P ( A1A2 …An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) … P(An). 2. 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A,B 互斥 A,B 相互独立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 176 P(A∪B) P(A) + P(B) 1 - P(􀭵A)P(􀭵B) P(AB) 0 P(A)P(B) P(􀭵A􀭵B) 1 - [P(A) + P(B)] P(􀭵A)P(􀭵B) P(A􀭵B∪􀭵AB) P(A) + P(B) P(A)P(􀭵B) + P(􀭵A)P(B) 　 　 说明:①(A􀭵B)∪(􀭵AB),表示的是 A􀭵B 与 􀭵AB 的和,实际意义是:A 发生且 B 不发生,或者 A 不发生且 B 发生,换句话说就是 A 与 B 中恰有 一个发生. ②同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件 的混合运算也有优先级,我们规定:求积运算的 优先级高于求和运算,因此(A􀭵B)∪(􀭵AB)可简写 为 A􀭵B∪􀭵AB. 练一练: 1. 甲、乙两人参加“社会主义核心价值观” 知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别 为 23 和 3 4 ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立, 则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 ( D ) A. 34 B. 2 3 C. 57 D. 5 12 2. 甲、乙两水文站同时作水文预报,如果甲 站、乙站各自预报的准确率为 0. 8 和 0. 7. 那么, 在一次预报中,甲、乙两站预报都准确的概率为 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 相互独立事件的判断 　 　 典例 1 下列每对事件中,哪些是互斥事 件,哪些是相互独立事件? (1)1 000 张有奖销售的奖券中某张奖券是 一等奖与该张奖券是二等奖; (2)甲,乙两人同时购买同一期的双色球彩 票各一张,甲中奖与乙中奖; (3)甲组 3 名男生、2 名女生,乙组 2 名男 生、3 名女生,现从甲,乙两组中各选 1 名同学参 加演讲比赛,“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙 组中选出 1 名女生”; (4)容器内盛有5 个白球和3 个黄球,“从8 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”与“从剩 下的 7 个球中任意取出 1 个,取出的还是白 球” . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 两种方法判断两事件是否具 有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相 互影响. (2)公式法:检验 P(AB) = P(A)P(B)是否 成立. 对点练习❶ (1)甲、乙两名射手同时向 一目标射击,设事件 A:“甲击中目标”,事件 B: “乙击中目标”,则事件 A 与事件 B ( A ) A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 (2)掷一枚正方体骰子一次,设事件 A:“出 现偶数点”,事件 B:“出现 3 点或 6 点”,则事件 A,B 的关系是 ( B ) A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥 C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥 题型二 相互独立事件的概率计算 　 　 典例 2 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘 某个用人单位的职位,3 人能被选中的概率分别 为 25 , 3 4 , 1 3 ,且各自能否被选中互不影响. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 177 (1)求 3 人同时被选中的概率; (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率; (3)求 3 人均未被选中的概率. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 1. 求相互独立事件同时发生 的概率的步骤: (1)首先确定各事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件的概率,再求积. 2. 使用相互独立事件同时发生的概率计算 公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是 相互独立的,而且它们同时发生. 3. 明确事件中的“至少有一个发生” “至多 有一个发生” “恰好有一个发生” “都发生” “都 不发生”“不都发生”等词语的意义. 对点练习❷ 已知甲、乙、丙参加某项测 试时,通过的概率分别为 0. 6,0. 8,0. 9,而且这 3 人之间的测试互不影响. (1)求甲、乙、丙都通过测试的概率; (2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率; (3) 求甲、乙、丙至少有一人通过测试的 概率. 题型三 相互独立事件概率的综合应用 　 　 典例 3 甲、乙两人进行围棋比赛,比赛 要求双方下满五盘棋,开始时甲每盘棋赢的概 率为 34 ,由于心态不稳,甲一旦输一盘棋,他随 后每盘棋赢的概率就变为 12 . 假设比赛没有和 棋,且已知前两盘棋都是甲赢. (1)求第四盘棋甲赢的概率; (2) 求比赛结束时,甲恰好赢三盘棋的 概率. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 求相互独立事件的概率的 思路 计算相互独立事件同时发生的概率,先用 字母表示出事件,再分析题中涉及的事件. (1)简单计算问题:将题中所求事件转化为 若干个独立事件的交事件,利用独立事件的性 质和推广求解. (2)复杂计算问题:一般将问题划分为若干 个彼此互斥的事件,然后运用互斥事件的概率 加法公式和相互独立事件的概率计算公式 求解. 对点练习❸ 某学生语、数、英三科考试 成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文 为 0. 9,数学为 0. 8,英语为 0. 85,问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是 多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是 多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 178 易 错 警 示 　 　 混淆互斥事件和独立事件的概念 　 　 典例 4 甲投篮的命中率为 0. 8,乙投篮 的命中率为 0. 7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多少? [错解] 　 记 A = “甲恰好命中 2 次”,B = “乙恰好命中 2 次”,则 P(两人恰好都命中 2 次) = P(A) + P(B) = 3 × 0. 82 × 0. 2 + 3 × 0. 72 × 0. 3 = 0. 825. [错因分析] 　 错误地把相互独立事件当成 互斥事件来考虑,将“两人恰好都命中 2 次的概 率”理解成 A = “甲恰好命中 2 次”与 B = “乙恰 好命中 2 次”的概率之和. 　 　 [正解] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [误区警示] 　 首先理解清楚互斥事件与相 互独立事件的概念,并且区分计算概率的公式. A,B 为互斥事件时,有概率公式为 P(A∪B) = P(A) + P(B),A,B 为独立事件时,有概率公式 为 P(AB) = P(A)P(B) . 对点练习❹ 打靶时甲每打 10 次,可中 靶 8 次;乙每打 10 次,可中靶 7 次. 若两人同时 射击一个目标,则它们都中靶的概率是 ( D ) A. 35 B. 3 4 C. 12 25 D. 14 25 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测·固双基 1. 袋中有黑、白两种颜色的球,从中进行有放回 地摸球,用 A1 表示第一次摸得黑球,A2 表示 第二次摸得黑球,则 A1 与A2 是 ( A ) A. 相互独立事件　 　 　 B. 不相互独立事件 C. 互斥事件 D. 对立事件 2. 从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生 体型合格的概率为 13 ,视力合格的概率为 1 6 , 其他几项标准合格的概率为 15 ,从中任选一 名学生,则该生三项均合格的概率为(假设三 项标准互不影响) ( C ) A. 59 B. 4 9 C. 1 90 D. 4 5 3. (多选题)分别抛掷两枚质地均匀的骰子,设 事件 A = “第一枚出现点数为奇数”,事件 B = “第二枚出现点数为偶数”,则下列结论正确 的是 ( A ) A. P(A) = 12 B. P(AB) = 12 C. 事件 A 与 B 互斥 D. 事件 A 与 B 相互独立 4. 端午节放假,甲、乙、丙回老家过节的概率分 别为 13 , 1 4 , 1 5 . 假定三人的行动相互之间没有 影响,那么这段时间内至少有 1 人回老家过 节的概率为 ( B ) A. 5960 B. 3 5 C. 1 2 D. 1 60 5. 事件 A,B,C 相互独立,若 P(AB) = 16 ,P(BC) = 1 8 ,P(AB C) = 1 8 ,则 P(B) = 　 　 　 　 　 ,P(AB) = 　 　 　 　 　 ,P(B +C) = 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[45] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 179 5. 25 　 都不发生的对立事件是至少有一个发生,即 A 发生或 B 发生的概率为 35 ,又 P(A) = 2P(B)且 A,B 互斥,所以 P (A∪ B) = P(A) + P(B ) = P(A) + 12 P(A) = 3 5 ,解得 P(A) = 2 5 . 6. (1)P(A) = 11 000,P(B) = 10 1 000 = 1 100,P(C) = 50 1 000 = 1 20 . (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1 张奖 券中奖”这个事件为 M,则 M = A∪B∪C. ∵ A,B,C 两两互斥, ∴ P(M) = P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 + 10 + 501 000 = 611 000. 故 1 张奖券的中奖概率为 611 000. (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, ∴ P(N) = 1 - P(A∪B) = 1 - 11 000 + 1 100( ) = 989 1 000. 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000. C 组·探索创新 　 ABC　 依题意得 P(A1) = 0. 15,P(A2) = 0. 06,P(A3) = 0. 04, 因为 A0,A1,A2,A3 两两互斥,所以 P( A0 ) = 1 - [P(A1) + P(A2) + P(A3)] = 0. 75. 对于 A,记事件 A 为“一年内需要维 修”, 则 A = A1∪A2∪A3,所以 P(A) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3) = 0. 15 + 0. 06 + 0. 04 = 0. 25,A 正确;对于 B,记事件 B 为“一年 内不需要维修”,则 B = A0,所以 P(B) = P( A0 ) = 0. 75,B 正确; 对于 C,记事件 C 为“在一年内维修不超过 1 次”则 C = A0∪ A1,所以 P(C) = P(A0 ) + P(A1 ) = 0. 75 + 0. 15 = 0. 90,C 正 确;对于 D,记事件 D 为“一年内最多需要维修 2 次”,则D = A3,所以 P(D) = 1 - P(D) = 1 - P(A3) = 1 - 0. 04 = 0. 96,D 错 误. 故选 ABC. 10. 2　 事件的相互独立性 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 P(A)P(B) 　 　 知识点 2　 A　 􀭵B　 􀭵A　 B　 􀭵A　 􀭵B 　 　 想一想: 　 　 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相 互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有 影响. 一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件 不可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为 前提. 　 　 知识点 3　 练一练: 1. D　 根据题意,恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得 或甲没有获得乙获得,则所求概率是 23 × 1 - 3 4( ) + 3 4 × 1 - 23( ) = 5 12,故选 D. 2. 0. 56　 由题意知,两水文站水文预报相互独立,故在一次 预报中甲、乙两站预报都准确的概率为 0. 8 × 0. 7 = 0. 56. 关键能力·攻重难 　 　 典例 1:(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖,即这 两个事件不可能同时发生,故它们是互斥事件. (2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙是否中奖 没有影响,反之亦然,故它们是相互独立事件. (3)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生对“从乙 组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响,反之亦然, 所以它们是相互独立事件. (4)“从 8 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”的概率为 5 8 ,若前一事件发生了,则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个,取 出的仍是白球”的概率为 47 ;若前一事件没有发生,则后一事件 发生的概率为 57 . 可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的 概率有影响,所以二者不是相互独立事件,也不是互斥事件. 　 　 对点练习 1:(1)A　 对同一目标射击,甲、乙两射手是否击 中目标是互不影响的,所以事件 A 与事件 B 相互独立;对同一目 标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件 A 与事 件 B 可能同时发生,所以事件 A 与事件 B 不是互斥事件. (2)B　 事件 A = {2,4,6},事件 B = {3,6},事件 AB = {6}, 样本点空间 Ω = {1,2,3,4,5,6} . 所以 P(A) = 36 = 1 2 ,P(B) = 2 6 = 1 3 ,P(AB) = 1 6 = 1 2 × 13 , 即 P(AB) = P(A)P(B),因此,事件 A 与 B 相互独立. 当“出 现 6 点”时,事件 A,B 同时发生,所以 A,B 不是互斥事件. 　 　 典例 2:设甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A,B,C,则 P (A) = 25 ,P(B) = 3 4 ,P(C) = 1 3 . (1)3 人同时被选中的概率 P1 = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = 2 5 × 3 4 × 1 3 = 1 10 . (2)3 人中有 2 人被选中的概率 P2 = P(AB􀭵C∪A􀭵BC∪􀭵ABC) = 25 × 3 4 × 1 - 1 3( ) + 2 5 × 1 - 3 4( ) × 1 3 + 1 - 2 5( ) × 3 4 × 1 3 = 23 60 . 3 人中只有 1 人被选中的概率 P3 = P(A􀭵B􀭵C∪􀭵AB􀭵C∪􀭵A􀭵BC) = 2 5 × 1 - 3 4( ) × 1 - 1 3( ) + 1 - 25( ) × 3 4 × 1 - 1 3( ) + 1 - 2 5( ) × 1 - 3 4( ) × 1 3 = 5 12 . 故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 P1 + P2 + P3 = 1 10 + 23 60 + 5 12 = 9 10 . (3)解法一:三人均未被选中的概率 P = P(􀭵A􀭵B􀭵C) = 1 - 25( ) × 1 - 3 4( ) × 1 - 1 3( ) = 1 10 . 解法二:由(2)知, 三人至少有 1 人被选中的概率为 910, ∴ P = 1 - 910 = 1 10 . 　 　 对点练习 2:(1)甲、乙、丙都通过测试的概率为 0. 6 × 0. 8 × 0. 9 = 0. 432. (2)甲未通过且乙、丙通过测试的概率为(1 - 0. 6) × 0. 8 × 0. 9 = 0. 288. (3)甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为 1 - (1 - 0. 6) × (1 - 0. 8) × (1 - 0. 9) = 0. 992. 　 　 典例 3:(1)第四盘棋甲赢分两种情况. ①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢,此时的概率 P1 = 3 4 × 3 4 = 916; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 376 — ②第三盘棋乙赢,第四盘棋甲赢,此时的概率 P2 = 1 4 × 1 2 = 18 . 设事件 A 为“第四盘棋甲赢”, 则 P(A) = P1 + P2 = 9 16 + 1 8 = 11 16 . (2)若甲恰好赢三盘棋,则他在后三盘棋中只赢一盘,分三 种情况. ①甲第三盘赢,此时的概率 P3 = 3 4 × 1 4 × 1 2 = 3 32; ②甲第四盘赢,此时的概率 P4 = 1 4 × 1 2 × 1 2 = 1 16; ③甲第五盘赢,此时的概率 P5 = 1 4 × 1 2 × 1 2 = 1 16 . 设事件 B 为“比赛结束时,甲恰好赢三盘棋”,则P(B) = P3 + P4 + P5 = 3 32 + 1 16 + 1 16 = 7 32 . 　 　 对点练习 3:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一 的事件为 A,B,C,则 A,B,C 两两相互独立且P(A) = 0. 9,P(B) = 0. 8,P(C) = 0. 85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A　B　C表示, P(A　B　C) = P(A)P(B)P(C) = [1 - P(A)][1 - P(B)][1 - P(C)] = (1 - 0. 9)(1 - 0. 8)(1 - 0. 85) = 0. 003. 所以三科成绩均未获得第一名的概率是 0. 003. (2)“恰好一科成绩未获得第一名”可以用(ABC) + (ABC) + (AB C)表示. 由于事件ABC,A BC 和 AB C两两互斥, 根据概率加法公式和相互独立事件的意义,所求的概率为 P(ABC) + P(A BC) + P(AB C) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B) ·P(C) + P(A)P(B)P(C) = [1 - P(A)]·P(B)P(C) + P(A) [1 - P(B)]P(C) + P(A)P(B)[1 - P(C)] = (1 - 0. 9) × 0. 8 × 0. 85 + 0. 9 × (1 - 0. 8) × 0. 85 + 0. 9 × 0. 8 × (1 - 0. 85) = 0. 329, 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0. 329. 　 　 典例 4:记 A = “甲恰好命中 2 次”,B = “乙恰好命中 2 次”, A,B 为相互独立事件,两人恰好都命中 2 次的概率为P(AB),则 P(AB) = P(A)P(B) = 3 × 0. 82 × 0. 2 × 3 × 0. 72 × 0. 3≈0. 169. 　 　 对点练习 4:D　 由题意知甲中靶的概率为 45 ,乙中靶的概 率为 710,两人打靶相互独立,同时中靶的概率 P = 4 5 × 7 10 = 14 25 . 故选 D. 课堂检测·固双基 1. A　 由题意可得A2 表示第二次摸到的不是黑球,即A2 表示第 二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到 白球互不影响,故事件 A1 与A2 是相互独立事件,由于 A1 与A2 可能同时发生,故不是互斥事件也不是对立事件. 故选 A. 2. C　 P = 13 × 1 6 × 1 5 = 1 90 . 3. AD　 分别抛掷两枚质地均匀的骰子,其中基本事件的总数为 36 种,事件 A = “第一枚出现点数为奇数”,共有 3 × 6 = 18 种, 所以 P(A) = 12 ,所以 A 正确;由事件 B = “第二枚出现点数 为偶数”,所以 P(AB) = 3 × 336 = 1 4 ,所以 B 不正确;当第一枚 抛出 1 点,第二枚抛出 2 点时,此时事件 A 与事件 B 同时发 生,所以 A 与 B 不互斥,所以 C 不正确;由 P(B) = 6 × 336 = 1 2 , 可得 P(AB) = P(A)P(B),所以事件 A 与事件 B 相互独立,所 以 D 正确. 故选 AD. 4. B　 因为甲、乙、丙回老家过节的概率分别为 13 , 1 4 , 1 5 ,所以 他们不回老家过节的概率分别为 23 , 3 4 , 4 5 . “至少有 1 人回 老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”,所以至少有 1 人回老家过节的概率为 1 - 23 × 3 4 × 4 5 = 3 5 . 5. 12 　 1 3 　 5 8 　 由 A,B,C 相互独立,P(AB) = 1 6 ,得 P(AB C) = P(AB)·P(C) = 18 . ∴ P(C) = 34 ,P(C) = 1 4 . 又 P(BC) = 18 ,∴ P(B) = 1 2 ,则 P(B) = 1 2 . 又 P(AB) = 16 ,∴ P(A) = 1 3 . ∴ P(AB) = P(A)·P(B) = 23 × 1 2 = 1 3 , P(B + C) = 1 - P(B 　 C) = 1 - P(B)·P(C) = 1 - 12 × 3 4 = 58 . 练案[45] A 组·素养自测 1. C　 由于 A 中的事件发生与否对于 B 中的事件是否发生不产 生影响,故 A 与 B 是相互独立的. 2. D　 由于 A,B 互斥,且 A,B 发生的概率均不为 0, 所以 0 < 2 - 3a < 1, 0 < 2a - 12 < 1, 0 < 2 - 3a + 2a - 12 ≤1, ì î í ï ï ï ï 解得 12 ≤a < 2 3 , 所以 a 的取值范围是 12 , 2 3[ ). 故选 D. 3. C　 P(A) = 1 - P(A) = 13 ,P(AB) = P(A)P(B),所以 A 与 B 相互独立. 4. D　 甲要获得冠军共分为两种情况: (1)第一场取胜,这种情况的概率为 12 . (2)第一场失败,第二场取胜,这种情况的概率为 12 × 1 2 = 1 4 ,则甲获得冠军的概率为 1 2 + 1 4 = 3 4 . 5. B　 根据题意,记 K,A1,A2 正常工作分别为事件 A,B,C. 则 P(A) = 0. 9, A1, A2 至少有一个正常工作的概率为 1 - P(B)P(C) = 1 - 0. 2 × 0. 2 = 0. 96,则系统正常工作的概率为 0. 9 × 0. 96 = 0. 864. 故选 B. 6. 0. 79　 依题意,选中前锋的概率为 630 = 1 5 ,选中中场的概率 为1630 = 8 15,选中后卫的概率为 8 30 = 4 15, 则任选一名球员点球进门的概率是 15 × 0. 9 + 8 15 × 0. 8 + 4 15 × 0. 7≈0. 79. 7. 18 　 1 8 　 ∵ P(A) = 1 2 ,P(B) = 3 4 ,∴ P( 􀭵A) = 12 ,P( 􀭵B) = 1 4 . ∴ P ( A 􀭵B) = P ( A) P ( 􀭵B) = 12 × 1 4 = 1 8 , P( 􀭵A􀭵B) = P(􀭵A)P(􀭵B) = 12 × 1 4 = 1 8 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 377 —