10.1.4 概率的基本性质(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

10. 1. 4　 概率的基本性质 素养目标·定方向 课标要求 通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则. 素养要求 通过具体实例,抽象出概率的性质,掌握概率的运算方法,发展数学抽象及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 概率的基本性质 　 　 任何事件的概率都是非负的; 在每次试验中,必然事件一定发生,不可能 事件一定不会发生. 一般地,概率有如下性质: 性质 1　 对任意的事件 A,都有 P(A)≥0. 性质 2　 必然事件的概率为 1,不可能事件 的概率为 0. 即 P(Ω) = 1,P(⌀) =0. 性质 3　 如果事件 A 与事件 B 互斥,那么 P(A∪B) = P(A) + P(B) . 因为事件 A 和事件 B 互斥,即 A 与 B 不含 有相同的样本点,所以 n ( A∪B) = n ( A) + n(B),这等价于P(A∪B) = P(A) + P(B),即两 个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概 率之和. 　 　 推广:如果事件 A1,A2,…,Am 两两互斥,那 么P(A1∪A2∪…∪Am) = P(A1) + P(A2) + … + P(Am) . [提醒] 　 对于一个较复杂的事件,一般将 其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互 斥时,原事件的概率等于这些事件概率的和. 并 且互斥事件的概率加法公式可以推广为:P(A1 ∪A2∪…∪An) = P(A1) + P(A2) +… + P(An). 其使用的前提仍然是 A1,A2,…,An 彼此互斥. 故 解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件 是否互斥. 性质 4　 如果事件 A 与事件 B 互为对立事 件,那么 P(B) = 1 - P(A),P(A) = 1 - P(B) . 因为事件 A 和事件 B 互为对立事件,所以 和事件 A∪B 为必然事件,即 P(A∪B) = 1. 由性 质 3,得 1 = P(A∪B) = P(A) + P(B) . 性质 5　 如果 A⊆B,那么 P(A)≤P(B) . (1)对于事件 A 与事件 B,如果 A⊆B,即事 件 A 发生,则事件 B 一定发生,那么事件 A 的概 率不超过事件 B 的概率. (2)由性质 5 可得,对于任意事件 A,因为 ⌀⊆A⊆Ω,所以 0≤P(A)≤1. 性质 6　 设 A,B 是一个随机试验中的两个 事件,我们有 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩ B) . 想一想: 在同一试验中,对任意两个事件 A,B,P(A ∪B) = P(A) + P(B)一定成立吗? 练一练: 1. 在掷骰子的游戏中,向上的数字是 5 或 6 的概率是 ( B ) A. 16 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 2. 事件 A 与 B 是对立事件,且 P(A) = 0. 2, 则P(B) = 　 　 　 　 　 . 3. 事件 A 与 B 是互斥事件,P(A) = 0. 2,P (B) = 0. 5,则 P(A∪B) = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 173 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 互斥事件概率公式的应用 　 　 典例 1 (1)盒子里装有 6 只红球,4 只 白球,从中任取 3 只球. 设事件 A 表示“3 只球中 有 1 只红球,2 只白球”,事件 B 表示“3 只球中 有 2 只红球,1 只白球” . 已知P(A) = 310,P(B) = 12 ,求这 3 只球中既有红球又有白球的概率. (2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动, 规定顾客从装有编号为 0,1,2,3,4 的五个相同 小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球,若取 出的两个小球的编号之和等于 7,则中一等奖; 等于 6 或 5,则中二等奖;等于 4,则中三等奖,其 余结果不中奖. ①求中二等奖的概率; ②求不中奖的概率. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 (1)公式 P(A∪B) = P(A) + P(B),只有当 A、B 两事件互斥时才能使用, 如果 A、B 不互斥,就不能应用这一公式;(2)解 决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义. 对点练习❶ (1)若 A,B 是互斥事件, P(A) = 0. 2,P(A∪B) = 0. 5,则 P(B)等于 ( A ) A. 0. 3 B. 0. 7 C. 0. 1 D. 1 (2)在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A,B,C,D 的概率分别是0. 2,0. 2,0. 3,0. 3,则下 列说法正确的 ( D ) A. A + B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B. B + C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C. A + C 与 B + D 是互斥事件,但不是对立 事件 D. A 与 B + C + D 是互斥事件,也是对立 事件 题型二 概率一般加法公式(性质 6)的应用 　 　 典例 2 甲、乙、丙、丁四人参加 4 × 100 米接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 (1)概率的一般加法公式及 互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区 别:在公式 P(A∪B) = P(A) + P(B)中,事件 A, B 是互斥事件;在公式 P ( A∪B) = P ( A) + P(B) - P(A∩B)中,事件 A,B 可以是互斥事 件,也可以不是互斥事件. 可借助图形理解. (2)利用概率的一般加法公式 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)求解的关键在于理解 两个事件 A,B 的交事件 A∩B 的含义,准确求出 其概率. 对点练习❷ 在对 200 家公司的最新调 查中发现,40% 的公司在大力研究广告效果, 50% 的公司在进行短期销售预测,而 30% 的公 司在从事这两项研究. 假设从这 200 家公司中 任选一家,记事件 A 为“该公司在研究广告效 果”,记事件 B 为“该公司在进行短期销售预 测”,求P(A),P(B),P(A∪B) . 题型三利用互斥与对立的概率公式多角度求解 　 　 典例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑 克牌中随机抽取一张,那么抽取到红心(事件 A)的概率是 14 ,取到方块(事件 B)的概率是 1 4 , 求取到黑色牌(事件 D)的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 174 [分析] 　 先确定事件 D 的对立事件 C(取 到红色牌),也就是事件 C 就是所求事件 D 的对 立事件,而事件 C 包含 A 和 B 两个彼此互斥的 事件,故可直接利用互斥事件加法公式求解;然 后根据对立事件概率公式求解. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 对于较复杂事件的概率在求 解时通常有两种方法:一是将所求事件转化成 彼此互斥的事件的和;二是先求对立事件的概 率,进而再求所求事件的概率. 对点练习❸ 某射击运动员在一次射击 比赛中,每次射击比赛成绩均计整数环且不超 过 10 环,其中射击一次命中各环数概率如表: 命中环数 6 及以下 7 8 9 10 概率 0. 10 0. 12 0. 18 0. 28 0. 32 　 　 求该射击运动员射击一次. (1)命中 9 环及 10 环的概率; (2)命中不足 7 环的概率. 易 错 警 示 　 　 忽略概率加法公式的应用前提 　 　 典例 4 投掷一枚质地均匀的骰子,向上 的一面出现 1 点,2 点,3 点,4 点,5 点,6 点的概 率都是 16 ,记事件 A 为“出现奇数点”,事件 B “向 上 的 点 数 不 超 过 3 ”, 则 P(A∪B) = 　 　 　 　 . [错解] 　 因为 P(A) = 36 = 1 2 ,P(B) = 3 6 = 12 , 所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 12 + 1 2 = 1. [错因分析] 　 造成错解的原因在于忽略了 “事件和”概率公式 P(A + B) = P(A) + P(B)的 使用前提:事件 A,B 彼此互斥. 此题的两个事件 A,B 不是互斥事件,如出现的点数为 1 或 3 时, 事件 A,B 同时发生,故此题应用性质 6. 　 　 [正解] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [误区警示] 　 在使用公式 P ( A∪B) = P(A) + P(B)时,一定要注意公式成立的前提, 即事件 A 与事件 B 互斥. 若事件 A,B 不互斥,则 应用公式 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) . 对点练习❹ 甲、乙两人各射击一次,命 中率分别为0. 8和 0. 5,两人都命中的概率为 0. 4,求甲、乙两人至少有一人命中的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测·固双基 1. 若事件 A 和 B 是互斥事件,且 P(A) = 0. 1,则 P(B)的取值范围是 ( A ) A. [0,0. 9] B. [0. 1,0. 9] C. (0,0. 9] D. [0,1] 2. 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次 品,生产中出现乙级品的概率为 0. 03,丙级品 的概率为0. 01. 若从中抽查一件,则恰好得正 品的概率为 ( B ) A. 0. 09 B. 0. 96 C. 0. 97 D. 0. 98 3. 若 A 与 B 为互斥事件,则 ( D ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 175 A. P(A) + P(B) < 1 B. P(A) + P(B) > 1 C. P(A) + P(B) = 1 D. P(A) + P(B)≤1 4. 如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同 心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率 分别为 0. 35,0. 3,0. 25,则未命中靶的概率是 　 　 　 　 . 5. 某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概 率如下表所示: 月收入 [1 000, 1 500) [1 500, 2 000) [2 000, 2 500) [2 500, 3 000) 概率 0. 12 a b 0. 14 已知月收入在 [1 000,3 000) 内的概率为 0. 67,则月收入在[1 500,3 000)内的概率为 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[44] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. 2　 事件的相互独立性 素养目标·定方向 课标要求 结合有限样本空间,了解两个事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率. 素养要求 结合具体实例了解事件独立性的含义及利用独立性计算概率,发展数学抽象及数学运算素 养. 必备知识·探新知 知识点 1 相互独立事件的定义 　 　 对任意两个事件 A 与 B,如果 P ( AB) = 　 P(A)P(B)成立,则称事件 A 与事件 B 相互 独立,简称为独立. 知识点 2 相互独立事件的性质 　 　 当事件 A,B 相互独立时,则事件 　 A 与事 件　 􀭵B 相互独立,事件　 􀭵A与事件　 B 相互独立, 事件　 􀭵A与事件　 􀭵B相互独立. 想一想: 两个事件独立与互斥的区别是什么? 知识点 3 判定相互独立事件的方法 (1)由定义,若 P(AB) = P(A)·P(B),则 A,B 独立. (2)有些事件不必通过概率的计算就能 判定其独立性,如有放回的两次抽奖,由事件 本身的性质就能直接判定出是否相互影响, 从而得出它们是否相互独立. 　 　 [拓展] 　 1. 公式的推广 如果事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概 率的积,即 P ( A1A2 …An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) … P(An). 2. 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A,B 互斥 A,B 相互独立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 176 5. 625 　 因为张老师在 7 天中随机选择连续的 3 天参会共有 5 种 选法,即(12,13,14),(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17), (16,17,18),所以随机试验张老师和李老师各在 7 天中随机 选择连续的 3 天参会的基本事件数为 25,其中两位老师所选 的日期恰好都不相同选法有:张老师选(12,13,14),李老师选 (15,16,17)或(16,17,18),张老师选(13,14,15),李老师选(16,17, 18),张老师选(15,16,17),李老师选(12,13,14),张老师选(16, 17,18),李老师选(12,13,14)或(13,14,15),即事件两位老师所选 的日期恰好都不相同包含 6 个基本事件,所以事件两位老师所选 的日期恰好都不相同的概率 P = 625 . 6. (1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的 结果组成的样本点有 6 个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2, b),(b,a1),(b,a2) . 其中小括号内左边的字母表示第 1 次取 出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品. 总的事件个数 为 6,而且可以认为这些样本点是等可能的. 设事件 A = “取出的两件中恰有一件次品”,所以 A = {(a1, b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},所以 n(A) = 4, 从而 P(A) = n(A)n(Ω) = 4 6 = 2 3 . (2)有放回地连续取出两件,其所有可能的结果为(a1,a1 ), (a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2), (b,b),共 9 个样本点组成. 由于每一件产品被取到的机会均 等,因此可以认为这些样本点的出现是等可能的. 设事件 B = “恰有一件次品”,则 B = {(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}, 所以 n(B) = 4,从而 P(B) = n(B)n(Ω) = 4 9 . C 组·探索创新 　 (1)从身高低于 1. 80 的 4 名同学中任选 2 人,其一切可能的 结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B, D),(C,D)共 6 个. 设“选到的 2 人身高都在 1. 78 以下”为事件 M,其包括事件有 3 个,故 P(M) = 36 = 1 2 . (2)从小组 5 名同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基 本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10 个. 设“选到的 2 人的身 高都在 1. 70 以上且体重指标都在[18. 5,23. 9)”为事件 N,且 事件 N 包括事件有:(C,D),(C,E),(D,E)共 3 个. 则 P(N) = 310 . 10. 1. 4　 概率的基本性质 必备知识·探新知 　 　 知识点 　 　 想一想: 只有 A、B 互斥才成立. 　 　 练一练: 1. B　 事件“向上的数字是 5”与事件“向上的数字是 6”为 互斥事件,且二者发生的概率都是 16 ,所以“向上的数字是 5 或 6”的概率是 16 + 1 6 = 1 3 . 2. 0. 8　 因为 A 与 B 是对立事件,所以 P(A) + P(B) = 1,即 P(B) = 1 - P(A) = 0. 8. 3. 0. 7　 因为 A 与 B 互斥,故 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0. 2 + 0. 5 = 0. 7. 关键能力·攻重难 　 　 典例 1:(1)因为 A,B 是互斥事件,所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 310 + 1 2 = 4 5 ,所以这 3 只球中既有红球又有白球的概 率是 45 . (2)①从五个球中任意摸出两个小球,共有 10 种取法,中二 等奖包含(2,4),(2,3),(1,4)三种情况, ∴ P(中二等奖) = 310 . ②不中奖的对立事件为中奖,中奖的两小球编号之和包括 4,5,6,7,共有(1,3),(0,4),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)六个 结果. ∴ P (中奖) = 610 . ∴ P(不中奖) = 1 - 610 = 4 10 = 2 5 . 　 　 对点练习 1:(1)A　 ∵ A,B 是互斥事件, ∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0. 5, ∵ P(A) = 0. 2,∴ P(B) = 0. 5 - 0. 2 = 0. 3. 故选 A. (2)D　 由于 A,B,C,D 彼此互斥,且由 P(A + B + C + D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1,知 A + B + C + D 是一个必然 事件,故某事件的关系如图所示. 由图可知,任何一个事件与其 余 3 个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件 与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有 D 中的说法 正确. 　 　 典例 2:设事件 A 为“甲跑第一棒”,事件 B 为“乙跑第四 棒”, 则 P(A) = 14 ,P(B) = 1 4 . 记甲跑第 x 棒,乙跑第 y 棒,则结果可记为( x,y),共有 12 种等可能结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3, 1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3) . 而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能. 即(1,4) . 故 P(A∩B) = 112 . 所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 14 + 1 4 - 1 12 = 5 12 . 　 　 对点练习 2:P(A) = 40% = 0. 4,P(B) = 50% = 0. 5,又已知 P(A∩B) = 30% = 0. 3,所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩ B) = 0. 4 + 0. 5 - 0. 3 = 0. 6. 　 　 典例 3:记“取出的是红色牌”为事件 C,则 C = A∪B,且 A 与 B 不会同时发生,所以事件 A 与事件 B 互斥. 根据概率的加法公式得 P(C) = P(A) + P(B) = 12 . 又因为事件 C 与事件 D 互斥,且 C∪D 为必然事件, 因此事件 C 与事件 D 是对立事件, 所以 P(D) = 1 - P(C) = 12 . 　 　 对点练习 3:记“射击一次命中 k 环”的事件为 Ak(k∈N,k≤ 10),则事件 Ak 彼此互斥. (1)记“射击一次命中 9 环或 10 环”为事件 A,则当 A9 或 A10之一发生时,事件 A 发生,由互斥事件的概率公式,得P(A) = P(A9) + P(A10) . 因此命中 9 环或 10 环的概率为 0. 60. (2)解法一:由于事件“射击一次命中不足 7 环”是“射击一 次至少命中 7 环”的对立事件,故所求的概率为 P = 1 - (0. 12 + 0. 18 + 0. 28 + 0. 32) = 0. 10,因此命中不足 7 环的概率为 0. 10. 解法二:由题意可知“命中环数不足 7 环”即“命中环数为 6 环及以下”,故 P = 0. 10. 　 　 典例 4: 23 　 因为 P(A) = 3 6 = 1 2 ,P(B) = 3 6 = 1 2 ,P(AB) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 374 — = 26 = 1 3 ,所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 1 2 + 1 2 - 1 3 = 2 3 . 　 　 对点练习 4:至少有一人命中,可看成“甲命中”和“乙命中” 这两个事件的并事件. 设事件 A 为“甲命中”,事件 B 为“乙命 中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件 A∪B,所以 P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0. 8 + 0. 5 - 0. 4 = 0. 9. 课堂检测·固双基 1. A　 由于事件 A 和 B 是互斥事件,则 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.1 +P(B),又 0≤P(A∪B)≤1,所以 0≤0. 1 + P(B)≤1,所以 0 ≤P(B)≤0.9.故选 A. 2. B　 记事件 A = {甲级品},B = {乙级品},C = {丙级品},则 A 与 B + C 是对立事件,所以 P(A) = 1 - P(B + C) = 1 - 0. 03 - 0. 01 = 0. 96. 故选 B. 3. D　 若 A 与 B 为互斥事件,则 P(A) + P(B)≤1. 故选 D. 4. 0. 1　 令事件 A = “命中Ⅰ”,事件 B = “命中Ⅱ”,事件 C = “命 中Ⅲ”,事件 D = “未命中靶”,则 A,B,C 彼此互斥,故射手中 靶的概率为P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0. 35 + 0. 3 + 0. 25 = 0. 9. 因为中靶和不中靶是对立事件,所以未命中靶的概率为P(D) = 1 - P(A∪B∪C) = 1 - 0. 9 = 0. 1. 5. 0. 55　 P = 0. 67 - 0. 12 = 0. 55. 练案[44] A 组·素养自测 1. B　 质量超过 300 g 的概率为 1 - 0. 2 - 0. 5 = 0. 3. 2. D　 设“该射手在一次射击中不够 8 环”为事件 A,则事件 A 的 对立事件 􀭵A 是“该射手在一次射击中不小于 8 环” . ∵ 事件 􀭵A 包括射中 10 环,9 环,8 环,且这三个事件是互斥的, ∴ P(􀭵A) = 0. 2 + 0. 3 + 0. 1 = 0. 6, ∴ P(A) = 1 - P(􀭵A) = 1 - 0. 6 = 0. 4,即该射手在一次射击中不 够 8 环的概率为 0. 4. 3. B　 因为事件 A,B,C 两两互斥,所以 P(B) = P(A∪B) - P(A) = 815 - 1 5 = 1 3 , 所以 P(B∪C) = P(B) + P(C) = 13 + 1 3 = 2 3 . 4. C　 记“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A,“从中取出 2 粒都 是白子”为事件 B,“从中取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C, 则 C = A + B,且事件 A 与 B 互斥. 所以 P(C) = P(A) + P(B) = 17 + 12 35 = 17 35 . 即从中取出 2 粒恰好是同一色的概率为 17 35 . 5. B　 解法一:这 30 个数中“是偶数”的有 15 个,“能被 5 整除的 数”有 6 个,这两个事件不互斥,既是偶数又能被 5 整除的数 有 3 个,所以事件“是偶数或能被 5 整除的数”包含的样本点 是 18 个,而样本点共有 30 个,所以所求的概率为1830 = 3 5 . 解法二:设事件 A“摸出的数为偶数”,事件 B“摸出的数能被 5 整除”,则 P(A) = 12 ,P(B) = 6 30 = 1 5 ,P(A∩B) = 3 30 = 1 10, 所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 12 + 1 5 - 1 10 = 35 . 6. 310 　 商店不进货即日销售量少于 2 件,显然“日销售量为 1 件”与“日销售量为 0 件”不可能同时发生,彼此互斥,分别计 算两事件发生的频率,将其视作概率,利用互斥事件的概率加 法公式可解. 记“当天商品销售量为 0 件”为事件 A,“当天商品销售量为 1 件”为事件 B,“当天商店不进货”为事件 C,则P(C) = P(A) + P(B) = 120 + 5 20 = 3 10 . 7. 1928 　 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件 “甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发 生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得 女子乒乓球冠军的概率为 37 + 1 4 = 19 28 . 8. (1)0. 64　 (2)0. 37　 任找一个人,其血型为 A,B,AB,O 型血 的事件分别记为 A′,B′,C′,D′,它们两两互斥. 由已知,有 P (A′) = 0. 28,P(B′) = 0. 29,P(C′) = 0. 08,P(D′) = 0. 35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,①“可以输给 B 型血的人”为 事件 B′ + D′,根据概率的加法公式,得 P(B′ + D′) = P(B′) + P(D′) = 0. 29 + 0. 35 = 0. 64;②B 型血的人能为 B 型、AB 型的 人输血,其概率为 0. 29 + 0. 08 = 0. 37. 9. (1)由题意可知,P(A) = 512,P(B) = 1 3 ,P(C) = 1 6 ,P(D) = 112 . 易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件, 故“取出的球为红球或黑球”的概率为 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 512 + 1 3 = 3 4 . (2)易知,“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为 白球”两两互斥, 故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 512 + 1 3 + 1 6 = 11 12 . 10. 设事件 A = “不派出医生”,事件 B = “派出 1 名医生”,事件 C = “派出 2 名医生”,事件 D = “派出 3 名医生”,事件 E = “派 出 4 名医生”,事件 F = “派出 5 名及 5 名以上医生”,事件 A, B,C,D,E,F 彼此互斥,且 P(A) = 0. 1,P(B) = 0. 16,P(C) = 0. 3,P(D) = 0. 2,P(E) = 0. 2,P(F) = 0. 04. (1)“派出医生至多 2 人”的概率为 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0. 1 + 0. 16 + 0. 3 = 0. 56. (2)解法一:“派出医生至少 2 人”的概率为 P(C∪D∪E∪ F) = P(C) + P(D) + P(E) + P(F) = 0. 3 + 0. 2 + 0. 2 + 0. 04 = 0. 74. 解法二:“派出医生至少 2 人”的概率为 1 - P(A∪B) = 1 - 0. 1 - 0. 16 = 0. 74. B 组·素养提升 1. C　 由题意可知,肉馅包子的个数为 10 × 25 = 4,从中随机取 出 1 个,不是豆沙馅包子的概率为 710,则该包子是豆沙馅包子 的概率为 1 - 710 = 3 10,所以,豆沙馅包子的个数为 10 × 3 10 = 3,因此,素馅包子的个数为 10 - 4 - 3 = 3. 2. B　 由题意可知不用现金支付的概率为 1 - 0. 45 - 0. 15 = 0. 4. 3. B　 设“电话响第一声被接”为事件 A,“电话响第二声被接” 为事件 B,“电话响第三声被接”为事件 C,“电话响第四声被 接”为事件 D,则 A,B,C,D 两两互斥,从而P(A + B + C + D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 110 + 3 10 + 2 5 + 1 10 = 9 10 . 4. 815 　 记“选中两人都是男生”为事件 A,“选中两人都是女生” 为事件 B,“选中两人中恰有一人是女生”为事件 C,易知 A,B 为互斥事件,A∪B 与 C 为对立事件, 又 P(A∪B) = P(A) + P(B) = 13 + 2 15 = 7 15, 所以 P(C) = 1 - P(A∪B) = 1 - 715 = 8 15 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 375 —