10.1.4 概率的基本性质（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1随机事件与概率 第4课时 概率的基本性质 学 习 目 标 1 2 3 理解事件的包含、相等、并事件、交事件、互斥事件、对立事件的定义，掌握概率的6条基本性质，能运用性质解决简单的概率计算问题； 通过情境探究、小组互动，经历事件关系的抽象过程，学会用集合语言描述事件，提升逻辑推理和数学运算能力； 培养数学抽象、逻辑推理、数学运算素养，体会数学与生活的联系，能运用概率性质分析实际问题，增强应用意识； 新课引入 在日常生活中，我们经常会遇到这样的概率问题：某超市举办抽奖活动，抽奖箱内有红球、白球、黄球各若干，规定“抽到红球”为一等奖，“抽到白球”为二等奖，“抽到黄球”为三等奖。 提出问题： 1. 若“抽到红球”记为事件A，“抽到一等奖”记为事件B，这两个事件的概率有什么关系？ 2. “抽到红球或白球”与事件A、事件B（抽到白球）之间有什么联系？其概率又该如何计算？ 3. “抽到红球”和“抽到白球”这两个事件能同时发生吗？它们的概率之间有什么规律？ 新课引入 概率的基本性质 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 问题：甲获胜的概率是多少？ 这些问题都需要借助概率的基本性质来解决。上一节课我们学习了古典概型，掌握了简单概率的计算方法，今天我们就来学习《10.1.4 概率的基本性质》，通过梳理事件之间的关系，掌握概率的核心性质，解决更复杂的概率问题。 互动探究 回顾旧知，引入事件关系 概率的基本性质 1. 什么是随机事件、必然事件、不可能事件？它们的概率分别取什么值？ 必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件概率在0~1之间）； 2. 古典概型的概率计算公式是什么？ P(A)=，n(A)为事件A包含的样本点个数，n(Ω)为样本空间总个数）； 3.在古典概型中，若事件A包含事件B，那么n(A)与n(B)的关系是什么？由此可推出P(A)与P(B)的关系吗？ 数量关系：n(B)≤n(A),概率关系：P(B)≤P(A) 互动探究 概率的基本性质 探究事件关系，抽象定义 情境1 抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“出现点数为2”，事件B=“出现点数为偶数”。 提问：若事件A发生，事件B一定发生吗？ 情境2 抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“出现点数不大于3”，事件B=“出现点数为1、2、3” 提问：事件A和事件B发生的条件完全相同吗？ 情境3 抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为偶数” 提问：事件A和事件B能同时发生吗？它们的并事件是什么事件？（引导学生总结“互斥事件”“对立事件”）。 互动探究 概率的基本性质 推导性质，初步应用 1. 结合情境1，推导性质1（范围性）和性质2（包含关系）：0≤P(A)≤1；若A⊇B，则P(A)≥P(B)； 2. 结合情境2，推导性质3（相等关系）：若A=B，则P(A)=P(B)； 3. 结合情境3，推导性质4（互斥事件概率加法公式）：若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)； 延伸提问：若A与是对立事件，结合性质4，能推出什么结论？ 性质5：)=1-P(A)）。 小组练习 抛掷一枚骰子，事件A=“出现点数为1”，事件B=“出现点数为2”，求P(A∪B)。 互动探究 概率的基本性质 易错辨析，深化理解 1. 判断：“若事件A与B互斥，则A与B一定是对立事件”，这句话是否正确？ 反例 抛掷骰子，A=“点数为1”，B=“点数为2”，互斥但不对立 2. 计算：抛掷一枚骰子，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，求P(A∪B)。 错解 直接用P(A)+P(B)，忽略A⊇B P(A∪B)=P(A)= 正解 知识讲解 概率的基本性质 事件的关系 设试验E的样本空间为Ω，A、B是Ω的子集（即随机事件），事件关系定义如下： 1. 包含关系：若事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作A⊆B（或B⊇A）。 特例：若A⊆B且B⊆A，则A=B（相等关系），此时P(A)=P(B)。 2. 并事件（和事件）：事件A或事件B发生（即A、B中至少有一个发生），称为事件A与B的并事件，记作A∪B（或A+B），样本点为A和B所有样本点的并集。 3. 交事件（积事件）：事件A和事件B同时发生，称为事件A与B的交事件，记作A∩B（或AB），样本点为A和B样本点的交集。 4. 并事件（和事件）：事件A或事件B发生（即A、B中至少有一个发生），称为事件A与B的并事件，记作A∪B（或A+B），样本点为A和B所有样本点的并集。 5. 互斥事件（互不相容事件）：若A∩B=∅（即A和B不能同时发生），则称A与B互斥。 易错提醒：互斥事件仅要求“不同时发生”，不要求“必有一个发生”。 6.对立事件（互逆事件）：若A∩B=∅且A∪B=Ω（即A和B不同时发生，且必有一个发生），则称A与B对立，记作B=（A的对立事件） 知识讲解 概率的基本性质 概率的基本性质 序号 性质名称 核心内容 性质1 范围性 对任意随机事件， 性质2 必然/不可能事件 必然事件：；不可能事件： 性质3 包含关系 若，则，且 性质4 互斥事件加法公式 若，则；推广：个两两互斥事件 性质5 对立事件概率 若与对立，则 性质6 并事件通用公式 对任意事件， 第一步：判断事件之间的关系（包含、互斥、对立等）； 第二步：根据事件关系，选择对应的概率性质； 第三步：代入已知概率，计算未知概率； 第四步：验证结果是否符合概率范围（0≤P(A)≤1），确保计算正确 典例分析 题型1 事件关系判断与简单性质应用 例1.抛掷一枚质地均匀的骰子，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，设事件A=“出现点数为偶数”，B=“出现点数为2”，C=“出现点数为大于4”，D=“出现点数为奇数”。 （1）判断下列事件关系：① A与B；② A与D；③ C与D； （2）计算：① P(A)、P(D)；② P(A∪D)；③ P(C)、P()。 解：（1）① 因为B发生必然导致A发生，所以B⊆A； ② A与D不能同时发生，且A∪D=Ω，所以A与D对立（互斥且对立）； ③ C={5,6}，D={1,3,5}，C∩D={5}≠∅，所以C与D不互斥，也不对立。 （2）① P(A)=n(A)/n(Ω)=3/6=1/2，P(D)==；② 因为A与D对立，所以P(A∪D)=P(Ω)=1（或用性质4：P(A∪D)=P(A)+P(D)=+=1）；③ P(C)=n(C)/n(Ω)==，由性质5，P(C ̅)=1-P(C)=1-=。 典例分析 题型2 互斥事件概率加法公式 　　例2、从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=　P(B)=，那么 　　(1)C=“抽到红花色”，求P(C);　(2)D=“抽到黑花色”，求P(D)。 解：(1)因为C=AUB，且A与B不会同时产生， 所以A与B是互斥事件。则P(C)=P(A)+P(B)=+=. (2)因为C与D互斥，又因为CUD是必然事件， 所以C与D互为对峙事件. 则P(D)=1-P(C)=1-=. 典例分析 题型2 互斥事件概率加法公式 　　例3.某射手在一次射击中，命中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，命中7环及以下的概率为0.25，求： （1）该射手命中8环及以上的概率； （2）该射手命中9环或10环的概率。 解：设事件A=“命中10环”，B=“命中9环”，C=“命中8环”，D=“命中7环及以下”，易知A、B、C、D两两互斥，且A∪B∪C∪D=Ω。 （1）事件“命中8环及以上”为A∪B∪C，由互斥事件加法公式： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.3+0.1=0.6； （或利用对立事件：P(A∪B∪C)=1-P(D)=1-0.25=0.6） 当事件两两互斥时，可利用性质4的延伸公式计算并事件概率；也可利用对立事件简化运算。 （2）事件“命中9环或10环”为A∪B，由互斥事件加法公式： P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5。 典例分析 题型3 综合应用 　　例4、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽取2罐，能中奖的概率为多少？ 设事 事件关系 利用互斥性 利用对立性 或P(A)=1-p() 下面利用【古典概型】求各个组件的概率 典例分析 题型3 综合应用 2 4 第一罐 中奖 不中奖 第二罐 中奖 不中奖 中奖 不中奖 1 4 2 3 样本空间包含的基本事件总数为30个 2×1 2×4 4×2 4×3 样本点总数 当堂检测 1.判断下列说法是否正确，说明理由： （1）互斥事件一定是对立事件；（2）对立事件一定是互斥事件；（3）若事件A⊆B，则P(A)≤P(B)。 2.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“出现点数为3”，B=“出现点数为奇数”，求P(A)、P(B)、P()。 3.已知事件A与B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A∪B)。 解：（1）不正确，理由：互斥事件仅要求不同时发生，不一定必有一个发生（如抛掷骰子，A=“点数1”，B=“点数2”，互斥但不对立）； （2）正确，理由：对立事件要求不同时发生且必有一个发生，满足互斥事件的定义； (3）正确，理由：由概率性质3，若A⊆B，则P(A)≤P(B)。 解：P(A)=；P(B)==；P()=1-P(B)=1-=。(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。 当堂检测 4.已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，P(A∩B)=0.2，求P(A∪B)和P()。 5.某超市有三种口味的饮料：可乐、果汁、矿泉水，购买可乐的概率为0.4，购买果汁的概率为0.3，购买矿泉水的概率为0.2，求购买可乐或果汁的概率（假设购买三种饮料互斥）。 解：由性质6，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.3-0.2=0.7； 由性质5，P()=1-P(A∩B)=1-0.2=0.8。 解：设事件A=“购买可乐”，B=“购买果汁”，C=“购买矿泉水”，A、B、C两两互斥； 事件“购买可乐或果汁”为A∪B，由性质4，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7。 当堂检测 6.从装有4个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，记事件A=“恰好摸到1个红球和1个白球”，B=“恰好摸到2个红球”，C=“至少摸到1个红球”。 （1）判断A与B的关系；（2）求P(C)（提示：利用对立事件）。 解：（1）A与B互斥，理由：“恰好1红1白”与“恰好2红”不能同时发生（A∩B=∅）； （2）C的对立事件为“摸到2个白球”（记为），n(Ω)=15，n()=1， 所以P()=，由性质5，P(C)=1-P()=1-=。 当堂检测 7.下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与B互斥，则P(A)+P(B)=1 B. 若事件A与B对立，则P(A∪B)=1 C. 若P(A)=0，则A是不可能事件 D. 若P(A)=1，则A是必然事件 解：B 解析：A选项，互斥事件不一定对立，P(A)+P(B)不一定等于1；C选项，P(A)=0，A不一定是不可能事件（如在区间[0,1]取一个数，取到0.5的概率为0，但不是不可能事件）；D选项，同理，P(A)=1，A不一定是必然事件；B选项，对立事件的并事件是必然事件，P(A∪B)=1，正确。 当堂检测 8.已知事件A与B互斥，P(A)=0.25，P(A∪B)=0.6，则P(B)=（ ） A. 0.35 B. 0.45 C. 0.85 D. 0.95 解：A={1,2,3}，n(A)=3，P(A)==；B={2,4,6}，n(B)=3，P(B)==；A∩B={2}，n(A∩B)=1，P(A∩B)=；由性质6，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=。 9.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“出现点数小于4”，B=“出现点数为偶数”，求P(A∪B)。 解：A 解析：因为A与B互斥，由性质4，P(A∪B)=P(A)+P(B)，所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.6-0.25=0.35。 学海拾贝 知识小结 类别 内容 核心要点 事件关系（6种） 包含关系 ：A发生则B一定发生   相等关系 ： 且   并事件（和事件） ：A、B至少一个发生   交事件（积事件） ：A、B同时发生   互斥事件（互不相容） ：不能同时发生   对立事件 且 对立必互斥，互斥不一定对立 概率基本性质（6条） 范围性   必然/不可能事件   包含性质   互斥加法公式 互斥   对立事件公式   并事件通用公式 关键解题技巧 ① 正难则反 直接算P(A)复杂时，先算   ② 先判互斥 互斥才能用简单加法，不互斥必须用通用公式 常见易错点 ① 互斥≠对立 对立是“有你没我，必有一个”；互斥只是“不能同时有”   ② 漏减交事件 不互斥时，直接 会重复计算   ③ 概率与事件 不一定是不可能事件 不一定是必然事件 学海拾贝 思想小结 • 集合思想：用集合语言描述事件关系，将事件转化为集合的交、并、补运算，简化理解； 转化与化归思想：将复杂事件转化为简单事件（如对立事件），将未知概率转化为已知概率计算； 分类讨论思想：在判断事件关系、计算并事件概率时，分类分析事件是否互斥，避免遗漏。 学海拾贝 后续展望 本节课学习的概率基本性质，是后续学习条件概率、随机变量及其分布的基础，也是解决实际概率问题的核心工具。后续将结合古典概型、随机抽样等知识，进一步提升概率计算的综合性，需熟练掌握本节课的性质和解题思路，多通过实例练习，强化应用能力。 感谢聆听! $