8.6.2 直线与平面垂直(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测·固双基 1. 已知空间中的三条直线 a,b,c 满足 a⊥c 且 b ⊥c,则直线 a 与直线 b 的位置关系是 ( D ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面 2. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,棱所在直线与 直线 BA1 垂直的条数为 ( A ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 设 P 是直线 l 外一定点,过点 P 且与 l 成 30° 角的异面直线 ( A ) A. 有无数条 B. 有两条 C. 至多有两条 D. 有一条 4. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,B1D1 的中点,则直线 EF 与直线 AA1 所成 角的正切值为 ( A ) A. 12 B. 1 3 C. 2 2 D. 3 3 请同学们认真完成练案[30] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8. 6. 2　 直线与平面垂直 第 1 课时　 直线与平面垂直的判定 素养目标·定方向 课标要求 1. 借助长方体,通过直观感知,归纳出直线与平面垂直的判定定理,并加以证明. 2. 会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 素养要求 在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,发展学生的数学抽象素养、逻辑推 理素养和直观想象素养. 必备知识·探新知 知识点 1 直线与平面垂直的定义与判定 定理 　 　 1.直线与平面垂直的定义 定义 一般地,如果直线 l 与平面 α 内的　 任意一条 直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互相 垂直 记法 　 l⊥α 有关 概念 直线 l 叫做平面 α 的　 垂线,平面 α 叫做直 线 l 的　 垂面,直线与平面垂直时,它们唯一 的公共点 P 叫做　 垂足 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表 示平面的平行四边形的一边　 垂直 图示 性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段 与点 面距 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与 　 垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂 线段,垂线段的　 长度叫做这个点到该平面 的距离 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 114 　 　 2.直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的　 两条相交直 线垂直,那么该直线与此平面垂直 符号 语言 l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,　 a∩b = P⇒l⊥α 图形 语言 　 　 [拓展] 　 1. 对直线与平面垂直的几点说明 (1)定义中的“任意一条直线”这一词语与 “所有直线”是同义词,与“无数条直线”不是同 义词. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的 一种特殊情形. (3)由直线与平面垂直的定义,得如果一条 直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该 平面内的任意一条直线. 这是判断两条直线垂 直的一种重要方法. 2. 理解直线与平面垂直的判定定理 不能用“一条直线与平面内的两条平行直 线垂直来判断此直线与平面垂直”. 实际上,由 基本事实 4 可知,平行具有“传递性”,因此一条 直线与平面内的一条直线垂直,那么它与这个 平面内平行于这条直线的所有直线都垂直,但 不能保证与其他直线垂直. 3. 判定定理所体现的数学思想 直线与平面垂直的判定定理体现了“转化” 的数学思想,即将线面垂直转化为线线垂直. 练一练: 1. 直线 l⊥平面 α,直线 m⊂α,则 l 与 m 不 可能 ( A ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 2. 若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直 线 OA 垂直于 ( C ) A. 平面 OAB B. 平面 OAC C. 平面 OBC D. 平面 ABC 3. (多选题)下列说法中,正确的是 ( D ) A. 若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直, 则 l⊥α B. 若直线 l 与平面 α 内的两条直线垂直, 则 l⊥α C. 若直线 l 与平面 α 内的两条相交直线垂 直,则l⊥α D. 若直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂 直,则l⊥α 知识点 2 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线 l 与平面 α 　 相交, 但不与这个平面 　 垂直,这 条直 线 叫 做 这 个 平 面 的 斜线 斜足 斜线和平面的 　 交点叫做 斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 α 引 　 垂线 PO,过 垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的 射影 直线 与平 面所 成的 角　 定义:平面的一条斜线和