8.6.1 直线与直线垂直(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测·固双基 1. 六棱柱 ABCDEF - A1B1C1D1E1F1 的底面是正 六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有 ( D ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 2. 下列结论中,错误的是 ( A ) A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 平行于同一平面的两直线关系不确定 D. 两平面平行,一平面内的直线必平行于另 一平面 3. 已知 α,β 是两个不重合的平面,直线 a⊂α, 命题 p:a∥β,命题 q:α∥β,则 p 是 q 的 ( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知异面直线 l、m,且 l∥平面 α,m⊂平面 α, l⊂平面 β,α∩β = n,则直线 m、n 的位置关系 是　 　 　 　 . 5. 如图所示,已知正方体 ABCD - A1B1C1D1, 求 证: 平 面 AB1D1∥平面 BDC1 . 请同学们认真完成练案[29] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8. 6　 空间直线、平面的垂直 8. 6. 1　 直线与直线垂直 素养目标·定方向 课标要求 1. 借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线垂直的关系. 2. 掌握两异面直线所成的角的求法. 素养要求 在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中,要利用空间的线、面位置关系, 并进行计算,发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养. 必备知识·探新知 知识点 1 空间两条直线的位置关系有三种 　 　 (1)平行直线; (2)相交直线; (3)异面直线. 知识点 2 异面直线所成的角 　 　 (1)定义:已知两条异面直线 a,b,经过空 间任一点 O 分别作直线 a′∥a,b′∥b,我们把直 线　 a′与　 b′所成的角叫做异面直线 a 与 b 所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 111 成的角(或夹角). (2 ) 空间两条直线所成角 α 的取值范 围:　 [0°,90°]. 　 　 [拓展] 　 对异面直线所成的角的认识理解 的注意点 (1)任意性与无关性:在定义中,空间一点 O 是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线 所成的角与 a′,b′所成的锐角(或直角)相等,而 与点 O 的位置无关. (2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两 条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转 化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面 角来计算. 练一练: 已知正方体 ABCD - EFGH,则 AH 与 FG 所 成角的大小为　 　 　 . 知识点 3 异面直线互相垂直 　 　 如果两条异面直线所成的角是 　 直角,那 么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线 a 与直线 b 互相垂直,记作　 a⊥b. [提醒] 　 两条直线垂直是指相交垂直或异 面垂直. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 理解异面垂直 　 　 典例 1 (1)如图,观察长方体 ABCD - A′B′C′D′,有没有两条棱所在的直线是互相垂直 的异面直线? (2)如果两条平行直线中的一条与某一条 直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线 垂直? (3) 垂直于同一条直线的两条直线是否 平行? 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 (1)两条直线垂直,既包括 相交垂直,也包括异面垂直. (2)研究异面直线所成的角,就是通过平移 把异面直线转化为相交直线,把空间角问题转 化为平面角问题,这是研究立体几何问题的一 种基本思想. 对点练习❶ (1)如图,正方体 AC1 中, 与 AB 垂直的棱有　 　 　 　 　 条. (2)如图,四面体 ABCD 中,E,F,G,H 分别 是 AB,BC,CD,DA 的中点,并且 AC⊥BD,则四 边形 EFGH 的形状是　 　 　 　 　 . 题型二 求异面直线所成的角