8.4.1 平面(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

8. 4　 空间点、直线、平面之间的位置关系 8. 4. 1　 平面 素养目标·定方向 课标要求 1. 了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法. 2. 掌握平面的基本事实及推论,能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3. 能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,并能解决空间线面的位置关系问题. 素养要求 1. 通过引导解决共线、共面问题,培养逻辑推理核心素养. 2. 通过画或找立体图形中平面与平面的交线,培养直观想象核心素养. 3. 利用判断点、线、面的位置关系判断命题的真假,培养数学建模核心素养. 必备知识·探新知 知识点 1 平面 　 　 1.平面的概念 几何中所说的“平面”,是从课桌面、黑板 面、平静的水面等,这样的一些物体中抽象出来 的.类似于直线向两端无限延伸,几何中的平面是 向四周　 无限延展的. 2.平面的画法 我们常用矩形的直观图,即 　 平行四边形 表示平面,它的锐角通常画成 　 45°,且横边长 等于其邻边长的　 2 倍,如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡 住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用　 虚线 画出来,如图②. 3.平面的表示法 平面通常用希腊字母 α,β,γ 等表示,如平 面 α、平面 β、平面 γ 等,也可以用代表平面的平 行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的 大写英文字母作为这个平面的名称. 如平面 AB- CD、平面 AC 或者平面 BD,还可以用平面内不 共线的三点的字母表示,如平面 ABC. 　 　 [拓展] 　 平面的几个特点 (1)平面是平的. (2)平面是没有厚度的. (3)平面是无限延展而没有边界的. 练一练: 1. 判断正误. (正确的画“√”,错误的画 “ × ”) (1)书桌面是平面. ( × ) (2)8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠 起来厚. ( × ) (3)一个平面的面积是 16 cm2 . ( × ) (4)所有的平面都是无限延展的. ( √ ) 2. 如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平 面不能记为 ( A ) A. 平面 MN B. 平面 MP C. 平面 α D. 平面 MNPQ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 093 知识点 2 用符号语言表示点、线、面之间的 位置关系 　 　 1.直线在平面内的概念 如果直线 l 上的　 所有点都在平面 α 内,就 说直线 l 在平面 α 内,或者说平面 α 经过直线 l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系: 文字语言表达 符号语 言表示 文字语言表达 符号语 言表示 点 A 在直线 l 上 　 A∈l 点 A 在直线 l 外 　 A∉l 点 A 在 平 面 α 内 　 A∈α 点 A 在平面 α 外 　 A∉α 直 线 l 在 平 面 α 内 　 l⊂α 直 线 l 在 平 面 α 外 　 l⊄α 直线 l,m 相交于 点 A l∩m = A 平面 α, β 相交 于直线 l α∩β = l 　 　 [拓展] 　 从集合的角度理解点、线、面之间 的位置关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合,故 点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈” 或“∉”表示. (2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系 也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示. (3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可 看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示. 练一练: 如图, 点 A 　 ∈　 平面 ABC;点 A 　 ∉　 平面 BCD;BD 　 ⊂　 平面 ABD;平面 ABC∩ 平面 BCD = 　 BC　 . 知识点 3 平面的基本性质及应用 　 　 1.三个基本事实及其表示 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基 本 事 实 1 过 不 在 一 条 直 线 上 的三个点, 　 有且只有 一个平面 A,B,C 三 点不共线 ⇒存在唯 一的平面 α 使 A, B,C∈α 一是确定 平面;二是 证明点、线 共面问题; 三是判断 两个平面 重合的依 据 基 本 事 实 2 如果一条直 线上的　 两 个点在一个 平面内,那 么这条直线 在　 这个平 面内 A ∈ l, B ∈ l,且 A ∈α,B∈ α ⇒ 　 l ⊂α 既可判定 直线和点 是否在平 面 内, 又 能说明平 面是无限 延展的 基 本 事 实 3 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个公共点, 那 么 它 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点 的