7.3 复数的三角表示(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

C. 7i - 13 D. 7i + 1 3 3. (2023·陕西咸阳)已知复数 z = 3 - i1 + i,若 z 的 共轭复数为z,则 z·z = ( B ) A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 4. 复数 z = 1i - 1的模为 ( B ) A. 12 B. 2 2 C. 2 D. 2 5. 把复数 z 的共轭复数记作z,已知(1 + 2i) z = 4 + 3i,求 z 及 z z . 请同学们认真完成练案[18] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 3∗ 　 复数的三角表示 7. 3. 1　 复数的三角表示式 7. 3. 2　 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 素养目标·定方向 课标要求 通过复数的几何意义,了解复数的三角表示;了解复数的代数表示与三角表示之间的关系;了 解复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 素养要求 通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义,体会数学抽象及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 1 复数的三角表示式 　 　 如图,我们可以用刻画向量大小的模 r 和刻 画向量方向的角 θ 来表示复数 z. 一般地,任何一个复数 z = a + bi 都可以表 示成r(cos θ + isin θ)的形式. 其中, 概念名称 概念的说明 模 r r 是复数 z 的模,r = a2 + b2 辐角 θ θ 是以 x 轴的非负半轴为始边,向量OZ→所 在射线(射线 OZ)为终边的角,且 cos θ = a r ,sin θ = b r ;规定:复数 0 的辐角是任 意的 三角形式 r(cos θ + isin θ)叫做复数 z = a + bi 的三角 表示式,简称三角形式,该式的结构特征 是:　 模非负,角相同,余弦前,加号连　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 　 　 为了与三角形式区分开来,a + bi 叫做复数 的代数表示式,简称代数形式. 知识点 2 辐角主值 　 　 　 　 　 　 　 范围内的辐角 θ 的值为辐角的 主值,通常记作 arg z. 练一练: 判断正误. (正确的画 “√”, 错误的画 “ × ”) (1)复数的辐角是唯一的. ( × ) (2) z = cos θ - isin θ 是复数的三角形式. ( × ) (3) z = - 2(cos θ + isin θ)是复数的三角形 式. ( × ) 知识点 3 复数乘、除运算的三角表示 　 　 (1) r1 ( cos θ1 + isin θ1 ) · r2 ( cos θ2 + i sin θ2) = r1 r2[cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)] . (2) r1(cos θ1 + isin θ1) r2(cos θ2 + isin θ2) = r1 r2 [cos(θ1 - θ2) + isin(θ1 - θ2)] . 知识点 4 复数乘、除法的几何意义 　 　 (1)复数乘法的几何意义 如图,两个复数 z1,z2 相乘时,先分别画出 与 z1,z2 对应的向量OZ1 →,OZ2 →,然后把向量OZ1 → 绕 点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2 < 0,就要 把OZ1 → 绕点 O 按顺时针方向旋转角 | θ2 | ),再把 它的模变为原来的 r2 倍,得到向量OZ →,OZ→表示 的复数就是积 z1 z2 . (2)复数除法的几何意义 如图,两个复数 z1, z2 相除 时,先分别画出与 z1, z2 对应的 向量OZ1 →,OZ2 →,然后把向量OZ1 → 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2 (如果 θ2 < 0,就要把OZ1 → 绕点 O 按逆时针方向旋转角 | θ2 | ),再把它的模变为原 来的 1r2 倍,得到向量OZ→,OZ→表示的复数就是 商 z1 z2 . 练一练: 1. cos π6 + isin π 6( ) × cos π 3 + isin π 3( ) = ( C ) 　 　 A. 1 B. - 1 C. i D. - i 2. 4(cos π + isin π) ÷ 2 cos π3 + isin π 3( ) é ë ê ê ù û ú ú = ( C ) A. 1 + 3i B. 1 - 3i C. - 1 + 3i D. - 1 - 3i 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋