7.1.1 数系的扩充和复数的概念(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

第七章　 复　 数 7. 1　 复数的概念 7. 1. 1　 数系的扩充和复数的概念 素养目标·定方向 课标要求 通过方程的解,了解引进复数的必要性,认识复数,理解复数的基本概念及复数相等的充要 条件. 素养要求 通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识,体会数学抽象及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 1 复数的有关概念 　 　 1.复数的定义 我们把形如 a + bi(a,b∈R)的数叫做　 复 数　 ,其中 i 叫做　 虚数单位　 全体复数所构成的 集合 C = {a + bi | a,b∈R}叫做　 复数集　 . 规定 i·i = i2 = 　 　 　 　 　 . 2.复数的表示 复数通常用字母 z 表示,即 z = a + bi(a,b∈ 　 　 　 　 　 ),a 与 b 分别叫做复数 z 的　 　 　 　 　 　 . 想一想: 数系是如何逐步扩充的? 　 　 [提醒] 　 复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集,任何一个数都可 以写成 a + bi(a,b∈R)的形式,其中 0 = 0 + 0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z = a + bi 只有在 a,b∈R 时才是 复数的代数形式,否则不是. 练一练: 1. 复数 z = 2 + 5i 的实部等于　 　 　 　 ,虚 部等于　 　 　 　 . 2. 若复数 z = (2a - 1) + (3 + a) i(a∈R)的 实部与虚部相等,则 a = 　 　 　 　 . 知识点 2 复数的分类 　 　 1.复数 a + bi(a,b∈R) 　　 　 　 (b = 0), 　　 　 　 　 (b≠0) 纯虚数　 　 　 　 , 非纯虚数　 　 　 　 .{ ì î í ï ï ïï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 052 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间 的关系 想一想: 为什么虚数不能比较大小? 知识点 3 复数相等的充要条件 　 　 设 a,b,c,d 都是实数,则 a + bi = c + di⇔ 　 　 　 　 　 . a + bi = 0⇔　 　 　 　 　 . 　 　 [提醒] 　 两个复数相等的条件 (1)在两个复数相等的条件中,注意前提条 件是 a,b,c,d∈R,即当 a,b,c,d∈R 时,a + bi = c + di⇔a = c 且 b = d. 若忽略前提条件,则结论 不能成立. (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出 来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为 实数问题来求解. 练一练: 1. 在复数 1 + 2i, 3 - 2,0,4i, - 3 - 2i 中, 不是虚数的为　 　 　 　 　 . 2. 若复数 z = (m - 2) + (m + 1) i 是纯虚 数,则实数 m = 　 　 　 　 . 　 　 3. 已知 x,y∈R,若 x + 3i = (y - 2) i,则 x + y = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 复数的概念 　 　 典例 1 (1)给出下列三个命题:①若 z∈C,则 z2≥0;②2i - 1 虚部是 2i;③2i 的实部 是 0. 其中真命题的个数为 ( B ) A. 0　 　 　 　 　 　 　 　B. 1 C. 2 D. 3 (2)已知复数 z = a2 - (2 - b) i 的实部和虚 部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值分别是　 　 　 　 　 . (3)判断下列命题的真假. ①若 x,y∈C,则 x + yi = 1 + 2i 的充要条件 是 x = 1,y = 2; ②若实数 a 与 ai 对应,则实数集与纯虚数 集一一对应; ③实数集的补集是虚数集. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�