7.1.2 复数的几何意义(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

果没有这一条件,相应结论不一定能够成立. 例 如:a + bi = 0⇒a = b = 0 成立的条件是 a,b∈R; a + bi = c + di⇒a = c,b = d 成立的条件是 a,b,c, d∈R. 另外,复数 z = a + bi(a,b∈R)为纯虚数 的条件是 a = 0,且 b≠0,切记不能丢掉“b≠0” 这一条件. 　 　 对点练习❹ 已知 i 为虚数单位,下列 说法正确的是 ( C ) A. 若 x2 + 1 = 0,则 x = i B. 实部为零的复数是纯虚数 C. z = (x2 + 1)i 可能是实数 D. 复数 z = 2 + i 的虚部是 i 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测·固双基 1. (2022·无锡高一检测)已知 a 是实数,则复 数(a2 - 2a) + (a2 + a - 6) i 为纯虚数的充要 条件是 ( B ) A. a = 0 或 a = 2 B. a = 0 C. a∈R 且 a≠2 且 a≠ -3 D. a∈R,且 a≠2 2. (1 + 3)i 的实部与虚部分别是 ( C ) A. 1, 3　 　 　 　 　 　 　 B. 1 + 3,0 C. 0,1 + 3 D. 0,(1 + 3)i 3. 若复数 z = m(m + 4)m - 1 + (m + 2) i 的实部与虚 部相等,则实数 m 的值为　 　 　 　 . 4. 若复数 z = (m + 1) + (m2 - 9) i < 0,则实数 m 的值等于　 　 　 　 . 5. (多选题)已知复数 z = cos α + icos 2α(0 < α < 2π)的实部与虚部互为相反数,则 α 的取值 为 ( A ) A. π B. π3 C. 4π3 D. 5π 3 请同学们认真完成练案[15] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 1. 2　 复数的几何意义 素养目标·定方向 课标要求 理解复数的代数表示及其几何意义,掌握用向量的模表示复数模的方法,理解共轭复数的 概念. 素养要求 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用,共轭复数的概念的理解,体会数学抽 象及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 1 复平面 　 　 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做　 　 　 　 ,x 轴叫做　 　 　 　 ,y 轴叫做　 　 　 　 . 实轴 上的点都表示　 　 　 　 ;除了原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 055 知识点 2 复数的几何意义 　 　 [提醒] 　 复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点:复数 z = a + bi (a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b)而不是(a, bi). (2)复数与向量的对应:复数 z = a + bi(a,b ∈R)的对应向量是以原点 O 为起点的,否则就 谈不上一一对应,因为复平面上与OZ→相等的向 量有无数个. 想一想: 如何理解复数与复平面内的点的一一对应 关系? 练一练: 1. 判断正误. (正确的画“√”,错误的画 “ × ”) 　 　 (1)原点是实轴和虚轴的交点. ( √ ) (2)在复平面内,虚数与复平面内的点一一 对应. ( × ) (3)复数与复平面内的无数多个向量对应. ( √ ) 2. 复数 z = 3 - 5i 在复平面内对应的点的坐 标是　 　 　 　 . 3. 若OE→ = (0, - 3),则OE→对应的复数 z = 　 　 　 　 . 知识点 3 复数的模 　 　 向量OZ→的模称为复数 z = a + bi 的模或绝对 值,记作　 　 　 　 或　 　 　 　 . 即 | z | = | a + bi | = 　 　 　 　 　 ,其中 a,b∈R. 如果 b = 0,那么 z = a + bi 是一个实数 a,它的模就等于　 　 　 　 (a 的绝对值) . 　 　 [拓展] 　 对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是:在(实)数 轴上右边的比左边的大,而复数的表示要引入 虚数轴,在平面上表示,所以也就不符合关于大 和小的定义,而且定义复数的大小也没有什么 意义,所以我们说两个复数不能比较大小. (2)数的角度理解:复数 a + bi(a,b∈R)的 模 | a + bi | = a2 + b2,两个虚数不能比较大小, 但它们的模表示实数,可以比较大小. (3)几何角度理解: | z |表示复数的点 Z 到 原点的距离. | z1 - z2 |表示复数