6.4.3 余弦定理、 正弦定理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6. 4. 3　 余弦定理、正弦定理 第 1 课时　 余弦定理 素养目标·定方向 课标要求 1. 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2. 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 素养要求 借助于向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,体会逻辑推理及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 1 余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和 　 减去这两边 与它 们 的 夹 角 的 余 弦 的 积 的 　　 两倍 符号语言 在△ABC 中,a2 = 　 　 　 　 　 , b2 = 　 　 　 　 　 , c2 = 　 　 　 　 　 推论 在△ABC 中, cos A = 　 　 　 　 　 　 　 　 ,cos B = 　 a 2 + c2 - b2 2ac ,cos C = 　 　 　 　 　 　 　 [提醒] 　 (1)利用余弦定理可以解两类有 关三角形的问题 ①已知两边及其夹角,解三角形; ②已知三边,解三角形. (2)余弦定理和勾股定理的关系 在△ABC 中,由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2abcos C,若角 C = 90°,则 cos C = 0,于是 c2 = a2 + b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余 弦定理是勾股定理的推广. 练一练: 在△ABC 中,符合余弦定理的是 ( A ) A. c2 = a2 + b2 - 2abcos C B. c2 = a2 - b2 - 2bccos A C. b2 = a2 - c2 - 2bccos A D. cos C = a 2 + b2 + c2 2ab 知识点 2 解三角形 　 　 一般地,三角形的三个角 A,B,C 和它们的 对边 a,b,c 叫做三角形的　 元素.已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做　 解三角形. 想一想: 已知三角形内角的余弦值求角时,是否存 在多解的情况? 练一练: 1. 在△ABC 中,已知 a = 9, b = 2 3,C = 150°,则c = ( D ) A. 39 B. 8 3 C. 10 2 D. 7 3 2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a = 1,b = 7, c = 3,则 B = 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 039 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 已知两边及一角解三角形 　 　 典例 1 ( 1 ) 在 △ABC 中, 已 知 b = 60 cm,c = 60 3 cm,A = π6 ,则 a = 　 　 　 　 cm; (2)在△ABC 中,若 c = 5,b = 5,且 cos C = 9 10,则a = 　 　 　 　 　 . [分析] 　 ( 1 ) 由余弦定理可直接求第 三边; (2)先由余弦定理建立方程,从中解出 a 的长. 　 　 [归纳提升] 　 已知两边及一角解三角形的 两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦 定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余 弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形 内角和定理求其他角. 对点练习❶ (1)在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c,若 a = 1, c = 2, cos B = 12 ,则 b = 　 　 　 　 　 . (2) (2022·成都高一检测)在△ABC 中, C = 2π3 ,AB = 7,BC = 3,则 AC = ( B ) A. 92 B. 5 C. 11 2 D. 6 题型二 已知三边解三角形 　 　 典例 2 (1)在△ABC 中,已知 a = 2 6, b = 6 + 2 3,c = 4 3,求 A,B,C; (2)在△ABC 中,a2 - (b - c) 2 = bc,则 A = ( B ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋